2.1从平面向量到空间向量学案—2020-2021学年高二北师大版选修2—1第二章空间向量与立体几何

第二章　空间向量与立体几何 本章知识要览 本章是在平面向量的基础上，通过类比的方法，学习空间向量的概念、性质和运算，并以向量为工具讨论立体几何中的一些问题．主要包括两个方面：一是关于空间向量及其运算，这是立体几何的基础，也是重点内容；二是关于空间向量的应用，即用向量讨论垂直与平行，夹角的计算和距离的计算． 本章的重点是：空间向量及其运算，以空间向量为工具通过空间向量的运算证明空间直线与直线、直线与平面、两个平面的平行和垂直，求空间两条直线、直线与平面所成的角、二面角的大小，求空间点到平面的距离；难点是：以空间向量为工具证明空间的位置关系，求空间角和空间距离；易错点是求空间角时，对角的范围的判断． (1)解决问题要从图形入手，分析已知条件在图形中的向量表示，由已知到图形、由图形到已知的基本训练，有序地建立图形、文字、符号三种语言间的联系． (2)适时地联系平面向量的知识及平面几何的知识，采用联想对比、引申等方法认识平面向量与空间向量、平面几何与立体几何知识的异同，并找出两者之间的内在联系，逐步培养能将立体几何问题转化为平面几何问题的能力． (3)由空间向量解决立体几何问题时，要注意在空间直角坐标系下，通过转化将图形的关系转化为坐标系中数的运算，并可以灵活地运用空间向量基本定理进行转化． §1　从平面向量到空间向量 知识点一 向量的概念 [填一填] (1)向量 既有大小又有方向的量叫作向量． 在物理中，有许多量可以用向量来表示，如位移、速度、加速度、力等，这些量不但有大小，而且还具有方向． (2)空间向量 在空间中，既有大小又有方向的量叫作空间向量． 过空间任意一点O作向量a，b的相等向量eq \o(OA,\s\up6(→))和eq \o(OB,\s\up6(→))，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π. [答一答] 1．向量a，b的夹角是eq \f(π,2)，0或π时，向量a，b应具备什么条件？ 2．思考与交流：仿照平面向量的有关概念，请分别给出下列定义：单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量． 知识点二 向量与直线 [填一填] (1)l是空间一直线，A，B是直线l上的任意两点，则称eq \o(AB,\s\up6(→))为直线l的方向向量．与eq \o(AB,\s\up6(→))平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量平行于该直线． (2)根据立体几何知识，我们知道，给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线． [答一答] 讨论：直线的方向向量是唯一确定的吗？ 知识点三 向量与平面 [填一填] (1)如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量．平面的法向量垂直于该平面． (2)给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A且垂直于向量a的平面． [答一答] 想一想：要想在空间中确定一个平面需要哪些条件？ 1．向量无法比较大小．关于向量的比较，我们只限于研究它们是否相等，而不是研究它们谁大谁小．一般来说，向量不 能比较大小．向量的模可以比较大小，应注意a＝b⇒|a|＝|b|，但反之不成立． 2．(1)〈a，b〉表示a与b的夹角，书写一定要规范，不能误写为(a，b)． (2)在图甲中，〈eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))〉＝∠AOB，而图乙中，〈eq \o(AO,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))〉＝π－∠AOB.向量夹角与向量大小无关，只与方向有关． 3．平行向量所在的直线可能平行也可能重合，与两直线平行不同；平行向量的方向可能同向，也可能反向． 4．零向量与任意向量共线． 5．平面法向量的性质： (1)若直线l⊥平面α，则所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量，故平面α的法向量不唯一，有无限多个，但它们互相平行． (2)一个平面的单位法向量只有两个． (3)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量，也就是平面的法向量垂直于该平面． 题型一 向量的有关概念 【例1】　给出下列五个命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间两向量a，b满足|a| ＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中必有eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(A1C1,\s\up6(→))；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 下列命题错误的是(　B　) A．空间向量eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(BA