第三章 圆锥曲线与方程 检测试题-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

第三章　检测试题 (时间:120分钟　满分:150分) [选题明细表] 知识点、方法 题号 曲线与方程 1,16 椭圆的定义、方程及性质 5,14 双曲线的定义、方程及性质 3,4,7 抛物线的定义、方程及性质 2,6,13 直线与圆锥曲线的位置关系 8,9,12,15,18 圆锥曲线的综合问题 10,11,17,19,20,21,22 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.方程x2+(x2+y2-1)2=0所确定的曲线是(　B　) (A)y轴或圆 (B)两点(0,1)与(0,-1) (C)y轴或直线y=±1 (D)以上都不正确 解析:若方程成立,则即x=0,y=±1, 所以方程x2+(x2+y2-1)2=0所确定的曲线是两点(0,-1)和(0,1).故 选B. 2.抛物线y=ax2的准线方程为y=-,则实数a的值为(　A　) (A)1 (B)-1 (C) (D)- 解析:因为抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y, 所以2p=,可得=, 焦点坐标为F(0,),准线方程y=-. 再根据题意,准线方程为y=-, 所以-=-,可得a=1. 故选A. 3.已知双曲线-y2=1的焦点为(2,0),则此双曲线的渐近线方程是(　C　) (A)y=±x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±x 解析:依题意可知=2, 所以a=±, 所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选C. 4.双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-)2+(y-1)2=1相切,则此双曲线的离心率为(　A　) (A)2 (B) (C) (D) 解析:设双曲线的渐近线为y=kx,因为与圆相切, 所以圆心到渐近线的距离为=1, 解得k=或k=0(舍去), 所以与圆相切的渐近线为y=x. 又e2=k2+1,得e=2.故选A. 5.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则该椭圆的离心率为(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:由题意知4b=2a+2c, 所以4b2=a2+c2+2ac, 所以4(a2-c2)=a2+c2+2ac 所以5c2+2ac-3a2=0, 所以5e2+2e-3=0, 所以e=或e=-1(舍去). 故选B. 6.设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线　　　(　B　) (A)经过点O (B)经过点P (C)平行于直线OP (D)垂直于直线OP 解析:如图所示, 因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等, 又点P在抛物线上,根据定义可知,|PQ|=|PF|, 所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B. 7.设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为　　(　D　) (A)-=1 (B)x2-=1　 (C)-y2=1 (D)x2-y2=1 解析:由题可知,抛物线的焦点为(1,0), 所以直线l的方程为x+=1, 即直线的斜率为-b, 又双曲线的渐近线的方程为y=±x, 所以-b=-,-b×=-1, 由a>0,b>0,解得a=1,b=1.故选D. 8.已知点P(-2,0)是椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点,过点P作圆O:x2+y2=4的切线,切点为A,B,若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F,则a2+b2的值是(　C　) (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 解析:由题意,a=2. 因为过点P作圆O:x2+y2=4的切线,切点为A,B,直线AB恰好过椭圆C的左焦点F, 所以∠APO=45°,F(-,0), 所以c=, 所以b2=8-2=6, 所以a2+b2=8+6=14. 故选C. 9.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0),若倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=-12x的焦点,且直线l被圆C截得的弦长为2,则a等于(　D　) (A)+1 (B) (C)2± (D)-1 解析:因为抛物线y2=-12x的焦点F(-3,0), 所以过抛物线y2=-12x的焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=tan 45°(x+3),即x-y+3=0. 因为圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)的圆心为(a,2),半径r=2, 所以圆心到直线x-y+3=0的距离 d=, 由弦长为2,可得+3=4, 解得a=±-1, 又a>0,所以a=-1.故选D. 10.已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图像上的点,则|OP|等于(　D　) (A) (B) (C) (D) 解析:因为|PA|-|PB|