圆锥曲线与方程 综合测试题-【数理报】2021-2022学年高中数学选修2-1复习专号（北师大版）

书 ２１期１版预习自测参考答案 双曲线及其标准方程 １．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｄ． ４． 槡２２；　５．（－∞，－２）∪（２，＋∞）． ６．解：设双曲线方程为 ｙ ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 由已知椭圆的两个焦点Ｆ１（０，－３），Ｆ２（０，３）， 又双曲线与椭圆交点Ａ的纵坐标为４， 所以Ａ（槡１５，４）， ４２ ａ２ －（槡１５） ２ ｂ２ ＝１， ａ２＋ｂ２＝９ { ， 解得 ａ２＝４， ｂ２＝５{ ， 故双曲线方程为 ｙ２ ４ － ｘ２ ５ ＝１． 双曲线的简单几何性质 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ａ． ４．５４；　５．ｘ ２－ｙ ２ ９ ＝１． ６．解：根据题意可设双曲线的方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 由椭圆方程知椭圆的半焦距是４，离心率为 ４５， 则可得双曲线的焦点坐标是（－４，０），（４，０），即ｃ＝４． 双曲线的离心率ｅ＝１４５ － ４ ５ ＝２． 由ｅ＝ ｃａ ＝２，得ａ＝２，从而ｂ ２＝４２－２２＝１２． 所以双曲线的方程为 ｘ２ ４ － ｙ２ １２ ＝１． ２１期３版参考答案 双曲线同步测试题 Ａ组 一、选择题 １～８　ＡＣＤＡ　ＢＣＡＣ 二、填空题 ９．１６；　１０．槡５． 三、解答题 １１．解：（１）椭圆方程可化为 ｘ ２ ６４＋ ｙ２ １６ ＝１， 焦点坐标为（± 槡４３，０）， 故可设双曲线的方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１， 其渐近线方程为ｙ＝± ｂａｘ， 则 ｂ ａ ＝ 槡３ ３，又ｃ ２＝ａ２＋ｂ２＝４８，所以可得ａ２＝３６，ｂ２＝１２， 所以所求双曲线的标准方程为 ｘ２ ３６－ ｙ２ １２ ＝１． （２）由题意可设所求双曲线方程为 ｘ ２ ８ － ｙ２ １６ ＝λ（λ≠０）， 因为点Ｃ（－ 槡２２，槡２３）在双曲线上， 所以１－ ３４ ＝λ，解得λ＝ １ ４， 所以所求双曲线的标准方程为 ｘ２ ２ － ｙ２ ４ ＝１． １２．解：（１）双曲线Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的虚轴长为 槡２６， 离心率为槡３，所以 ｃ ａ ＝槡３， ｂ＝槡６， ｃ２＝ａ２＋ｂ２ { ， 解得ａ＝槡３，ｂ＝槡６，ｃ＝３， 所以双曲线的方程为 ｘ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１． （２）由（１）知双曲线 ｘ ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１的右焦点为Ｆ２（３，０），设经过双 曲线右焦点Ｆ２且倾斜角为３０°的直线的方程为ｙ＝槡 ３ ３（ｘ－３），Ａ（ｘ１， ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｘ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１， ｙ＝槡３３（ｘ－３ { ），得５ｘ２＋６ｘ－２７＝０， 则ｘ１＋ｘ２＝－ ６ ５，ｘ１ｘ２＝－ ２７ ５， 所以｜ＡＢ｜＝ １＋ｋ槡 ２｜ｘ１－ｘ２｜ ＝ １＋槡 １ ３ (× － )６５ ２ －４ (× －２７)槡 ５ ＝ 槡１６３５ ． １３．解：（１）由题意可知ｃ＝槡２，ａ＝１，所以ｂ２＝ｃ２－ａ２＝１， 所以双曲线的方程为ｘ２－ｙ２＝１， 渐近线方程为ｘ±ｙ＝０． （２）设点Ｐ的坐标为（ｘ，ｙ），点Ｃ的坐标为（ｘ０，ｙ０）， 则线段ＡＣ的中点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）的坐标为 ｘ１＝ ｘ０－２ ２ ， ｙ１＝ ｙ０ ２ { ． 由平行四边形的性质，点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）也是线段ＰＢ的中点， 所以有 ｘ１＝ ｘ＋２ ２ ， ｙ１＝ ｙ ２ { ． 因此（ｘ０，ｙ０）可用ｘ，ｙ表示，得 ｘ０＝ｘ＋４， ｙ０＝ｙ { ， ① 又由于Ｃ（ｘ０，ｙ０）在曲线ｘ２－ｙ２＝１上，因此，ｘ２０－ｙ２０＝１， ② ①代入②，得（ｘ＋４）２－ｙ２＝１． 因为平行四边形不可能有两个以上的顶点在一条直线上， 所以动点Ｐ的轨迹是除去两点（－５，０），（－３，０）的曲线（ｘ＋４）２－ ｙ２＝１． Ｂ组 一、选择题 １～４　ＣＡＣＢ 二、填空题 ５．ｘ ２ ４ － ｙ２ １２ ＝１；　６．（槡２，＋∞）． 三、解答题 ７．解：（１）由４ｘ２－９ｙ２＝３６，得 ｘ ２ ９ － ｙ２ ４ ＝１， 所以ａ＝３，ｂ＝２，ｃ＝槡１３， 所以焦点坐标Ｆ１（－槡１３，０），Ｆ２（槡１３，０），离心率ｅ＝槡 １３ ３ ，渐近 线方程为ｙ＝± ２３ｘ． （２）由双曲线的定义可知｜｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜｜＝６， 所以ｃｏｓ∠Ｆ１ＰＦ２＝ ｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２－｜Ｆ１Ｆ２｜２ ２｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ ＝ （｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜）２＋２｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜－｜Ｆ１Ｆ２｜２ ２｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ ＝３６＋３２－５２３２ ＝ １ ２，则∠Ｆ１ＰＦ２＝６０°． ８．解：（１）由已知得双曲线Ｃ的焦点为Ｆ１（－２，０），Ｆ２（２，０）．由双 曲线定义｜｜ＡＦ１｜－｜ＡＦ２｜｜＝２ａ，得 ２５＋槡 ７－ １＋槡 ７＝２ａ，所以ａ＝ 槡２，ｃ２＝４，所以ｂ２＝２．所求双曲线为 ｘ２