第三章 圆锥曲线与方程 章末总结（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

章末总结 数学 网络建构 数学 知识辨析 判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”) 1.已知F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是椭圆.(　 　) × 2.方程mx2+(2-m)y2=1表示焦点在x轴上的椭圆的充分必要条件是 m∈(0,1).(　 　) 3.动点P到点F(-2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹为抛物线.(　 　) √ × × 数学 5.平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0).动点P满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.(　 　) × × 数学 真题赏析 题型探究 数学 题型探究·素养提升 题型一 函数与方程思想 数学 数学 数学 题型二 分类讨论思想 数学 数学 数学 题型三 转化与化归思想 解:由题意可知,点A在双曲线的两支之间, 设双曲线的右焦点为F′,则F′(4,0),F(-4,0). 由双曲线定义,得|PF|-|PF′|=2a=4, 所以|PF′|=|PF|-4, 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5,所以|PA|+|PF|≥9, 当且仅当A,P,F′三点共线时等号成立, 因此|PF|+|PA|的最小值为9. 数学 题型四 数形结合思想 数学 题型五 合设方程策略 求证:|AC|=|BD|. 数学 数学 数学 题型六 化“1”策略 [例6] 设直线(m-2)x+y-m=0(m≠0)与抛物线y2=px的交点为Q,R,且OQ⊥OR,求p关于m的函数f(m)的解析式. 数学 方法技巧 数学 真题赏析·素养升级 B 数学 B 数学 B 数学 数学 数学 (2)证明:直线CD过定点. 数学 数学 点击进入 检测试题 点击进入 综合检测试题 数学 4.抛物线y=x2的准线方程为x=-.(　 　) 6.“双曲线的方程为-=1”是“双曲线的渐近线方程为 y=±x”的充分必要条件.(　 　) [例1] 已知椭圆+=1的右焦点为F,直线y=x与l:x=1+m相交于A,点B(-1,1). (1)若☉C经过O,F,A三点,求☉C的方程; 解:(1)因为a2=m2+m,b2=m>0,所以c2=m2,即c=m, 所以F(m,0),直线y=x与l的交点A(1+m,1+m). 设☉C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将O,F,A三点坐标代入得 解得 所以☉C的方程为x2+y2-mx-(2+m)y=0. 解:(2)由B(-1,1),F(m,0),A(1+m,1+m)得=(-1,-1-m),=(-2-m,-m), 则·=m2+2m+2<5,解得-3<m<1,又m>0,所以0<m<1. 椭圆的离心率e===, 又0<m<1,所以1+>2, 因此<,所以0<e<, 所以椭圆的离心率e的范围是(0,). (2)若·<5时,求椭圆离心率e的范围. [例2] 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C的方程; 解:(1)由e===, 得a=b, 椭圆C:+=1, 即x2+3y2=3b2, 设P(x,y)为椭圆C上任意一点, 则|PQ|==, -b≤y≤b, 若b<1,则-b>-1,当y=-b时, |PQ|max==3,解得b=-5或b=1. 又b>0,则b=-5和b=1均不合题意舍去, 若b≥1,则-b≤-1,当y=-1时, |PQ|==3,得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1. 解:(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),动点P(x,y), 因为M,N在椭圆上,所以+3=3,+3=3. 又=+3,所以x=x1+3x2,y=y1+3y2, 则x2+3y2=+3(y1+3y2)2 =+3+9+27+6x1x2+18y1y2 =30+6x1x2+18y1y2, 因为OM,ON的斜率之积为-,所以·=-,即x1x2+3y1y2=0, 所以动点P的轨迹方程为x2+3y2=30. (2)若动点P满足=+3,其中M,N是椭圆上不同两点,直线OM,ON的斜率之积为-,求动点P的轨迹方程. [例3] 已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的一动点,求|PF|+|PA|的最小值. [例4] 已知A(4,0),B(2,2)是椭圆+=1内的两个点,M是椭圆上的动点,求|MA|+|MB|的最大值和最小值. 解:由+=1,得a=5,b=3,c=4.所以A(4,0)为椭圆的右焦点,左焦点为F(-4,0). 因为|MA|+|MF|=2a=10.所以|MA|+|MB|=10-|MF|+|MB|. 因为||MB|-|MF||≤|BF|==2, 所以-2≤|MB|-|MF|≤2,即10-2≤|MA|