第二章 空间向量与立体几何 章末总结（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

章末总结 数学 网络建构 数学 知识辨析 判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”) 1.向量a,b,c共面即它们所在直线共面.(　 　) × 3.平面α的法向量只有一个.(　 　) × × 4.设a,b均为非零向量,则“a·b=|a|·|b|”是“a与b共线”的充分不必要条件.(　 　) √ √ √ 数学 7.若a·b<0,则<a,b>一定是钝角.(　 　) 8.设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则sin θ=cos<a,n>.(　 　) × × 数学 真题赏析 题型探究 数学 题型探究·素养提升 题型一 用向量证明线面位置关系 [例1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形,PD= DC=2,E,F,G分别是AB,PB,CD的中点. (1)求证:EF⊥DC. 证明:(1)因为PD⊥DC,DC⊥AD,AD∩PD=D,所以DC⊥平面PAD, 因为AP⫋平面PAD,所以DC⊥AP, 因为E,F分别是AB和PB的中点,EF是△PAB的中位线,EF∥AP, 所以EF⊥CD. 数学 (2)求证:GF∥平面PAD. 数学 思维总结 证明直线与平面平行,转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.证明直线与平面垂直,转化为证明直线的方向向量与平面的法向量平行,然后根据直线与平面平行或垂直的有关概念得出结论,达到解决问题的目的. 数学 题型二 用向量法求空间角 (1)求异面直线EC与PD所成角的余弦值; 数学 (2)求二面角B-EC-D的余弦值. 数学 题型三 用向量法求空间距离 [例3] 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点. (1)求点N到直线AB的距离; 数学 (2)求点C1到平面ABN的距离. 数学 真题赏析·素养升级 1.(2019·全国Ⅰ卷)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4, AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE. 数学 (2)求二面角A-MA1-N的正弦值. 数学 2.(2020·全国Ⅲ卷)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1, BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1. 数学 (1)证明:点C1在平面AEF内; 数学 (2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值. 数学 3.(2019·全国Ⅲ卷)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2. (1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE. (1)证明:由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG, 故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面. 由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,且BE∩BC=B,故AB⊥平面BCGE. 又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE. 数学 (2)求图2中的二面角B-CG-A的大小. 数学 数学 4.(2020·天津卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC, AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点. 数学 (1)求证:C1M⊥B1D. 数学 (2)求二面角B-B1E-D的正弦值. 数学 (3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值. 数学 高考策略 1.本章高考命题形式比较稳定,难度适中,主要考查线线、线面及面面的平行与垂直的判定,空间夹角及距离的计算,从解答题来看,使用传统方法和向量法都能解决,把向量用某个合适的基底表示或建立空间直角坐标系,把向量用坐标表示,然后进行空间向量的运算,通过向量在数学上的关系反映出向量在空间位置的关系,从而使问题得到解决. 2.本章注重考查转化与化归的数学思想(即立体问题平面化,面面问题→线面问 题→线线问题,几何问题代数化),近几年在封闭题的基础上,进行了一些改革,增加了开放题的考查. 3.高考题中本章一般有小题,也有大题,主要考查学生的空间想象能力、计算能力、逻辑思维能力和综合运用知识的能力. 4.空间向量是近几年高考考查的重点,也是未来高考考查的重点与热点,尤其是它的应用,很多立体几何中的运算与证明都可由它完成. 数学 点击进入 检测试题 数学 2.在四边形ABCD中,一定有+=.(　 　) 5.“t∈(-,0)∪(0,)”是“已知|a|=6,|b|=6,ta+b与ta-b的夹角为钝角”的充分必要条件.(　 　) 6.对空间任一点O