2.4 用向量讨论垂直与平行（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§4　用向量讨论垂直与平行 数学 课标要求:1.能用向量语言表述线线、线面、面面垂直及平行;2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);3.体会向量方法在研究几何问题中的作用. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:①如图(1)所示,直线l∥m,在直线l上取两点A,B,在直线m上取两点C,D. ②如图(2)所示,直线l∥平面α,直线l的方向向量为a,平面α的法向量 为m. ③如图(3)所示,平面α∥平面β,平面α的法向量为m,平面β的法向量 为n. 数学 ④如图(4)所示,直线l⊥平面α,直线l的方向向量为a,平面α的法向量 为m. ⑤如图(5)所示,平面α⊥平面β,平面α的法向量为m,平面β的法向量 为n. 数学 想一想 (2)在图(2)中,向量a与向量m的关系是怎样的? (a⊥m) (3)在图(3)中,向量m与向量n的关系是怎样的? (m∥n) (4)在图(4)中,向量a与向量m的关系是怎样的? (a∥m) (5)在图(5)中,向量m与向量n的关系是怎样的? (m⊥n) 数学 知识探究 1.用向量讨论平行关系 线线 平行 设直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证明a∥b,即a=kb(k∈R). 线面 平行 ①设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,且l不在平面α内. ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ③证明一条直线l与一个平面α平行,只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示. 面面 平行 ①转化为相应的线线平行或线面平行. ②求出平面α,β的法向量u,v,证明u∥v即可说明α∥β. 数学 2.用向量讨论垂直关系 线线 垂直 设直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1⊥l2,只需证明a⊥b,即a·b=0. 线面 垂直 ①设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,则要证l⊥α,只需证a∥u. ②转化为直线与平面内两相交直线垂直,进而转化为证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直.设a,b是平面α内不共线向量,直线l的方向向量为l0,则l⊥α⇔l0⊥a且l0⊥b⇔ a·l0=b·l0=0. 面面 垂直 ①转化为证明线线垂直或线面垂直. ②证明两平面法向量互相垂直. 数学 拓展提升:在空间直角坐标系中,求平面的法向量的方法 (1)建立适当的坐标系. (2)设平面的法向量为n=(x,y,z). (3)求出平面内两个不共线向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). 数学 题型一 课堂探究·素养提升 求平面的法向量 [例1] 已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),求平面ABC的一个单位法 向量. 数学 数学 方法技巧 确定一个平面的法向量的方法有: (1)直接法,即观察是否有垂直于平面的向量,若有,则此向量就是法向量. 数学 即时训练1-1:如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB= 60°,AB=2AD=2,PD⊥底面ABCD,且PD=AD,求:平面PAB的一个法向量. 数学 题型二 用向量证明平行问题 [例2] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若O1为A1C1中点,O2为AC中点, (1)求证:BO1∥D1O2. (2)求证:BO1∥平面ACD1. (3)求证:平面ACD1∥平面BA1C1. 名师导引:可通过建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量以及平面的法向量,再利用向量方法来进行判定. 数学 数学 数学 数学 数学 数学 方法技巧 用向量法证明线面平行、面面平行的常用方法 (1)证明线面平行常用的方法. ①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面. ②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行. ③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明面面平行常用的方法. ①证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面. ②证明两个平面的法向量平行. 数学 即时训练2-1:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD. 数学 数学 数学 题型三 用向量证明垂直问题 [例3] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,E为C1D1的中点,F为A1D1的中点. (1)求证:A1O⊥OG. 数学 数学 数学 (2)求证:A1O⊥平面GBD. 数学 数学 数学 (3)求证:平面ACEF⊥平面DD1O. 数学 数学 方法技巧 解决立体几何问题,常用三种方法:综合