1.3 全称量词与存在量词（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§3　全称量词与存在量词 3.1　全称量词与全称命题 3.2　存在量词与特称命题 3.3　全称命题与特称命题的否定 [选题明细表] 知识点、方法 题号 全称命题与特称命题的判断 1,2,10 含一个量词的命题的真假判断 7,8,10 全称命题与特称命题的否定 3,4,5,11 全称命题与特称命题的应用 6,9,12 基础巩固 1.下列命题中全称命题的个数是(　B　) ①所有的指数函数都是单调函数; ②负数的平方都是正数; ③至少有一个整数x0,使log2x0>0: ④某个四边形不是平行四边形. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.下列命题为特称命题的是(　D　) (A)偶函数的图像关于y轴对称 (B)正四棱柱都是平行六面体 (C)不相交的两条直线是平行直线 (D)存在实数大于等于3 解析:A,B,C均为全称命题.故选D. 3.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(　C　) (A)∀x∈R,|x|+x2<0 (B)∀x∈R,|x|+x2≤0 (C)∃x0∈R,|x0|+<0 (D)∃x0∈R,|x0|+≥0 解析:命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是“∃x0∈R,|x0|+<0”.故 选C. 4.已知命题:任意x∈R,sin x≤1,则它的否定是(　A　) (A)存在x∈R,sin x>1 (B)任意x∈R,sin x>1 (C)存在x∈R,sin x≥1 (D)任意x∈R,sin x≥1 解析:全称命题的否定为特称命题.故选A. 5.命题“存在x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否定是(　B　) (A)存在x∈Z,使x2+2x+m>0 (B)对任意x∈Z,使x2+2x+m>0 (C)对任意x∈Z,使x2+2x+m≤0 (D)不存在x∈Z使x2+2x+m>0 解析:特称命题的否定是全称命题,x2+2x+m≤0的否定是x2+2x+m>0.故选B. 6.若命题“存在x∈R,使x2+ax+1<0”的否定是假命题,则实数a的取值范围是　　 　　　.  解析:命题“存在x∈R,使x2+ax+1<0”的否定是假命题,所以命题“存在x∈R,使x2+ax+1<0”是真命题,所以x2+ax+1<0就有解,所以Δ>0, 即a2-4>0,得a<-2或a>2. 答案:(-∞,-2)∪(2,+∞) 7.下列命题中是真命题的是　　　　.(填序号)  ①末位数是0的整数,可以被5整除; ②线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等; ③梯形的对角线相等; ④至少有一个正整数是偶数. 答案:①②④ 能力提升 8.下列命题中是假命题的是(　D　) (A)∃x0∈R,ln x0<0 (B)∀x∈(-∞,0),ex>x+1 (C)∀x>0,5x>3x (D)∃x0∈(0,+∞),x0<sin x0 解析:对于A.比如x0=时,ln=-1,是真命题; 对于B.令f(x)=ex-x-1(x∈(-∞,0)),f′(x)=ex-1<0,f(x)递减, 所以f(x)>f(0)=0,是真命题: 对于C.函数y=xa(a>0)在(0,+∞)上是增函数,是真命题, 对于D.令g(x)=x-sin x,g′(x)=1-cos x≥0,g(x)递增, 所以g(x)>g(0)=0,是假命题. 故选D. 9.已知函数f(x)=x2+mx+1,若命题“∃x0>0,f(x0)<0”为真,则m的取值范围为　　　 　.  解析:因为函数f(x)=x2+mx+1的图像过点(0,1), 若命题“∃x0>0,f(x0)<0”为真, 则函数f(x)=x2+mx+1的图像的对称轴必在y轴的右侧,且与x轴有两个交点, 所以Δ=m2-4>0且->0, 则m<-2, 则m的取值范围是(-∞,-2). 答案:(-∞,-2) 10.指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断真假. (1)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有唯一解; (2)存在实数x,使得=. 解:(1)全称命题; 当a=0,b=0时方程有无数解,故该命题为假命题. (2)特称命题; 因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2, 所以≤<. 故该命题是假命题. 11.写出下列命题的否定,并判断其否定的真假. (1)p:一切分数都是有理数; (2)p:任何一个平行四边形的对边都平行; (3)p:有些实数的绝对值是正数; (4)p:存在x∈R,x2+1<0. 解:(1)命题的否定:存在一个分数不是有理数,假命题. (2)命题的否定:存在一个平行四边形的对边不都平行,假命题. (3)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (4)命题的否定是“不存在x∈R,使x2+1<0”,即“任意x∈R,x2+1≥0”.是真命题. 探究创新 12