4.2 导数在实际问题中的应用（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

2.2　最大值、最小值问题 [选题明细表] 知识点、方法 题号 求函数的最值 1,2,3,7,8,9 实际问题中函数的最值 4,5,6,10 基础巩固 1.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　A　) (A)5,-15 (B)5,-4 (C)-4,-15 (D)5,-16 解析:f′(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),令f′(x)=0,得x=-1或x=2,所以当x∈[0,2)时,f′(x)<0,即f(x)单调递减,当x∈(2,3]时, f′(x)>0,即f(x)单调递增,所以f(x)min=f(2)=-15,又f(0)=5,f(3)= -4,所以f(x)max=f(0)=5.故选A. 2.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是(　A　) (A)-37 (B)-29 (C)-5 (D)以上都不对 解析:f′(x)=6x(x-2), 因为f(x)在(-2,0)上为增加的,在(0,2)上为减少的, 所以当x=0时,f(x)=m最大, 所以m=3,f(-2)=-37,f(2)=-5.故选A. 3.函数f(x)=的最大值为(　A　) (A) (B)e (C)e2 (D) 解析:令f′(x)===0. 解得x=e.当x>e时,f′(x)<0; 当0<x<e时,f′(x)>0. f(x)极大值=f(e)=, 在定义域内只有一个极值,所以f(x)max=.故选A. 4.某商品的进价为3元/件,根据以往经验,当售价为8元/件时,可卖出30件,市场调查表明,当售价每下降1元时,销量可增加10件,且售价下降x元时,获得的利润为L(x)元,则L(x)的最大值为(　D　) (A)220 (B)200 (C)180 (D)160 解析:当售价下降x元时,每件利润为(5-x)元,此时销量为(30+10x)件,所以L(x)=(5-x)(30+10x)=10(5-x)(3+x)=10(-x2+2x+15)(0≤x≤5),所以L′(x)=10(-2x+2)=20(-x+1),令L′(x)>0,得0≤x<1,即 0≤x≤1时,L(x)单调递增;令L′(x)<0,得1<x≤5,即1<x≤5时,L(x) 单调递减.所以当x=1时,L(x)取得最大值,最大值为160.故选D. 5.要制作一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高为(　D　) (A) cm (B) cm (C) cm (D) cm 解析:设圆锥的高为x cm, 则底面半径为, 其体积为V=πx(400-x2)(0<x<20), V′=π(400-3x2). 令V′=0, 解得x=. 当0<x<时,V′>0, 当<x<20时,V′<0, 所以当x=时,V取最大值. 故选D. 6.某厂生产x件产品的总成本为C万元,产品单价为P万元,且满足C=1 200+x3,P=,则当x=　　　　时,总利润最高.  解析:设总利润为L(x)万元,则由题意得L(x)=x·-1 200-x3= -x3+500-1 200(x>0).令L′(x)>0,得0<x<25;令L′(x)<0,得x>25.所以L(x)在区间(0,25)上单调递增,在区间(25,+∞)上单调递减,所以当x=25时,总利润最高. 答案:25 能力提升 7.已知函数f(x)=ax2+bx+cln x(a>0)在x=1和x=2处取得极值,且极大值为-,则函数f(x)在区间(0,4]上的最大值为　　　　.  解析:f′(x)=2ax+b+=(x>0,a>0). 因为函数f(x)在x=1和x=2处取得极值, 所以f′(1)=2a+b+c=0,① f′(2)=4a+b+=0,② 又a>0,所以当0<x<1或x>2时,f′(x)>0,f(x)是增加的;当1<x<2时,f′(x)<0,f(x)是减少的. 所以当x=1时, f(x)极大值=f(1)=a+b=-.③ 联立①②③,解得a=,b=-3,c=2. f(4)=×16-3×4+2ln 4=4ln 2-4, 经比较函数f(x)在区间(0,4]上的最大值是f(4)=4ln 2-4. 答案:4ln 2-4 8.若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=　　　　.  解析:因为f′(x)=3x2-3, 所以当x>1或x<-1时,f′(x)>0, 当-1<x<1时,f′(x)<0, 所以f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增. 所以f(x)min=f(1)=-2-a=n. 因为f(0)=-a,f(3)=18-a, 所以f(x)max=f(3)=18-a=m. 所以m-n=18-a-(-2-