3.1 变化的快慢与变化率（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§1　变化的快慢与变化率 [选题明细表] 知识点、方法 题号 平均变化率 1,2,3,4 瞬时变化率 5,6,7 变化率的应用 8,9,10,11 基础巩固 1.在平均变化率的定义中,自变量x的改变量Δx满足(　C　) (A)Δx>0 (B)Δx<0 (C)Δx≠0 (D)Δx=0 解析:因Δx是自变量的改变量x2-x1, 即自变量x从x1变为x2的改变量,故不能为0. 故选C. 2.一质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间[1,1+Δt]内相应的平均速度为(　D　) (A)3Δt+6 (B)-3Δt+6 (C)3Δt-6 (D)-3Δt-6 解析:==-6-3Δt.故选D. 3.设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数的改变量Δy等于(　D　) (A)f(x0+Δx) (B)f(x0)+Δx (C)f(x0)-Δx (D)f(x0+Δx)-f(x0) 解析:x由x0改变到x0+Δx时,相应函数改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).故选D. 4.函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系为(　D　) (A)k1>k2 (B)k1<k2 (C)k1=k2 (D)不确定 解析:k1==2x0+Δx, k2==2x0-Δx, k1-k2=(2x0+Δx)-(2x0-Δx)=2Δx. 由于Δx可正、可负,所以k1、k2的大小不确定.故选D. 5.已知物体的运动方程为s=t2+(t是时间,s是位移),则物体在时刻t=2时的瞬时速度为(　D　 ) (A) (B) (C) (D) 解析:= =4+Δt-, 当Δt趋于0时,趋于.故选D. 6.一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3 s末的瞬时速度为(　C　) (A)7 m/s (B)6 m/s (C)5 m/s (D)8 m/s 解析:==Δt+5. 当Δt趋于0时,趋于5, 所以此物体在3 s末的瞬时速度为5 m/s.故选C. 7.已知质点M按规律s=3t2+2做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s).当t=2,Δt=0.01时,则=　　 　　;当t=2时,质点M的瞬时速度为　　　　.  解析:= ==6t+3Δt. 当t=2,Δt=0.01时, =6×2+3×0.01=12.03 cm/s. 当Δt趋于0时,6t+3Δt趋于6t, 所以质点M在t=2时的瞬时速度为12 cm/s. 答案:12.03 cm/s　12 cm/s 能力提升 8.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为(　B　) (A)3 (B)2 (C)1 (D)4 解析:由已知得=3, 所以m+1=3,所以m=2.故选B. 9.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,其三者的大小关系是　　　　.  解析:因为==kMA, ==kAB, ==kBC, 由图像可知,kMA<kAB<kBC, 所以>>. 答案:>> 10.质点M按规律s=s(t)=at2+1做直线运动(位移s的单位:m,时间t的单位:s).问是否存在常数a,使质点M在t=2 s时的瞬时速度为 8 m/s?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 解:假设存在常数a,则Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a×22-1= 4a+4aΔt+a(Δt)2+1-4a-1=4aΔt+a(Δt)2,所以==4a+ aΔt.当Δt趋于0时,4a+aΔt趋于4a,由题意知4a=8,解得a=2.所以存在常数a=2,使质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s. 探究创新 11.设某跳水运动员跳水运动的落水轨迹方程如下(s单位:m,t单位:s):s= 求:(1)该运动员在t∈[3,5]内的平均速度; (2)该运动员的初速度v0; (3)该运动员在t=1时的瞬时速度. 解:(1)当t∈[3,5]时, Δt=5-3=2,Δs=3×52+2-(3×32+2)=48, 所以==24(m/s). (2)求该运动员的初速度v0即求该运动员在t=0时的瞬时速度. 因为该运动员在t=0附近的平均速度为 == = =3Δt-18, 所以当Δt趋于0时,趋于-18,所以该运动员在t=0时的瞬时速度为-18 m/s. (3)因为该运动员在t=1时的平均速度为= = =3Δt-12, 当Δt趋于0时,趋于-12, 所以该运动员在t=1时的瞬时速度为-12 m/s. $