2.3 双曲线（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

3.2　双曲线的简单性质 [选题明细表] 知识点、方法 题号 双曲线的几何性质及其应用 1,3,7 双曲线的离心率 8,9,10,12 双曲线中的焦点三角形问题 4 直线与双曲线的位置关系 2,5,6 双曲线的实际应用 11 基础巩固 1.下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是(　C　) (A)x2-=1 (B)-y2=1 (C)-x2=1 (D)y2-=1 解析:双曲线-x2=1的焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x.故选C. 2.已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F且斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为(　B　) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2), E的方程为-=1(a>0,b>0),则 ①-②得-=0,因为x1+x2=-24,y1+y2=-30, =1,所以4b2=5a2,又因为c=3,所以a=2,b=, 故E的方程为-=1.故选B. 3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(　A　) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1 解析:因为圆C:x2+y2-6x+5=0的圆心C(3,0),半径r=2, 所以双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点坐标为(3,0), 即c=3,所以a2+b2=9.① 因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为bx-ay=0,且与圆C相切,所以C到渐近线的距离等于半径,即=2,② 由①②解得a2=5,b2=4, 所以该双曲线的方程为-=1. 故选A. 4.已知P是双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线的离心率是,且·=0,若△PF1F2的面积为9,则a+b的值为(　C　) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:c=,e==, 所以a=c,所以b==c. 因为·=0(即PF1⊥PF2), =9,所以|PF1|·|PF2|=18. 所以 两式相减得,2|PF1|·|PF2|=4b2, 所以b2=9,所以b=3, 所以c=5,a=4, 所以a+b=7. 5.已知双曲线C:x2-y2=1,F是其右焦点,过F的直线l与双曲线有唯一的交点,则直线l的斜率等于　　　　.  解析:要使过右焦点F的直线l与双曲线有唯一的交点,则直线l应平行于双曲线的渐近线,又双曲线C的渐近线方程为y=±x,故直线l的斜率为±1. 答案:±1 6.已知双曲线-=1(a>0,b>0),若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 　　 　　.  解析:双曲线-=1的渐近线为y=±x, 由题意得,0<<tan 30°=, 即<. 解得0<e<. 又因为e>1,所以e∈(1,). 答案:(1,) 能力提升 7.已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(　A　) (A) (B)3 (C)m (D)3m 解析:-=1,因为m>0,所以双曲线的焦点在x轴上,a2=3m,b2=3,所以一条渐近线为y=x,即y=x,c2=a2+b2=3m+3, 则焦点F(,0)到直线y-x=0的距离为d===. 故选A. 8.双曲线-=1的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为　　 　　.  解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则双曲线的焦距为2,而双曲线-=1的离心率为2, 则有解得m=,n=. 所以mn=. 答案: 9.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB, CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　 　. 解析:将x=±c代入-=1得y2=. 由矩形ABCD的两条边AB,CD的中点为双曲线的焦点. 可知yA=yD=,yB=yC=-,如图. 所以|AB|=,|BC|=2c. 根据2|AB|=3|BC|知2b2=3ac. 又b2=c2-a2, 则2c2-2a2-3ac=0. 即2e2-3e-2=0, 解得e=2或e=-(舍去). 答案:2 10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0), F2(c,0),又点N(-c,).若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|+|MN|>4b,求双曲线C的离心率的取值范围. 解:由双曲线定义知|MF2|-|MF1|=2a, 所以|MF2|=|MF1|+2a. 因为|MF2|+|MN|>4b恒成立, 所以|MF1|+|MN|+2a>4b恒