2.2 抛物线（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

2.2　抛物线的简单性质 [选题明细表] 知识点、方法 题号 抛物线的简单性质 2,3,6,7 焦点弦问题 1,9,10,12 直线与抛物线的位置关系 4,5,8,13 抛物线的实际应用 11 基础巩固 1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2等于(　D　) (A)-2 (B)- (C)-4 (D)- 解析:由抛物线y=2x2得x2=y, 所以p=,x1x2=-.故选D. 2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(　B　) (A)(,±) (B)(,±) (C)(,) (D)(,) 解析:由抛物线定义,点P到准线的距离等于到焦点的距离, 所以|PO|=|PF|, 所以P点横坐标xP==. 所以yP=±,所以P(,±). 故选B. 3.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆,与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是(　B　) (A)(0,2) (B)(2,0) (C)(4,0) (D)(0,4) 解析:由题意得抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).故选B. 4.已知直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则|AB|等于(　D　) (A)4 (B)6 (C)7 (D)8 解析:把直线y=x-1代入抛物线y2=4x, 得(x-1)2=4x, 整理,得x2-6x+1=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=6,x1x2=1, 所以|AB|==8. 故选D. 5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点.若弦AB的垂直平分线经过点(0,2),则p等于(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:F(,0),过焦点F且倾斜角为的直线方程为y=x-. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由得,y2-2py-p2=0, 所以y1+y2=2p,x1+x2=3p, 所以弦AB的中点坐标为(,p),弦AB的垂直平分线斜率为-1,则=-1. 所以p-2=-,解得p=.故选C. 6.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在y轴上; ②焦点在x轴上; ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6; ④抛物线的通径的长为5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 则使抛物线方程为y2=10x的必要条件是　　　　 (要求填写合适条件的序号).  解析:由抛物线方程y2=10x,知它的焦点在x轴上,所以②适合. 又因为它的焦点坐标为F(,0),原点O(0,0),设点P(2,1),可得kPO·kPF=-1,所以⑤也合适. 而①显然不合适,通过计算可知③④不合题意. 所以应填序号为②⑤. 答案:②⑤ 7.如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是椭圆+=1的右焦点F,且两条曲线的交点连线也过焦点F,则该椭圆的离心率为 　　　　.  解析:设抛物线与椭圆在第一象限的交点为A, 由题意知,A(,p),A(c,), 所以=2c, 又b2=a2-c2, 所以c2-a2+2ac=0, 即e2+2e-1=0,e=-1. 答案:-1 能力提升 8.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　D　) (A) (B) (C) (D) 解析:如图,F(,0), 所以直线AB的方程为y=tan 30°(x-), 即y=x-,与y2=3x联立, 化为y2-3y-=0, 所以y1+y2=3,y1y2=-, 所以S△OAB=|OF|·|y1-y2| =× =×=.故选D. 9.过y=ax2(a>0)的焦点F,作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p,q,则+=　　 　　.  解析:抛物线y=ax2化为标准形式为x2=y. 所以焦点F(0,). 取特殊情况,如图所示, 即直线PQ平行于x轴时,有p=q. 因为|PF|=|PM|=p,所以|PF|=. 故+==4a. 答案:4a 10.已知动点M到点(4,0)的距离比它到直线l:x=-3的距离多1,则动点M的轨迹C的方程为　　　 　;过点(4,0)且倾斜角为30°的直线被曲线C所截得线段的长度为　 　　　.  解析:由题意易知,动点M到点(4,0)的距离与到直线x=-4的距离相等,故M点的轨迹是以(4,0)为焦点,x=-4为准线的抛物线,此抛物线方程为y2=16x. 设直线与抛物线的交点为A,B, 直线AB的方程为y-0=(x-4), 即y=x-, 将直线方程与抛物线方程联立得 得x