2.1 椭圆（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

第二课时　椭圆及其标准方程(二) [选题明细表] 知识点、方法 题号 椭圆的定义的应用 3,6,8 椭圆的标准方程 1,2,5,9,10,12 焦点三角形问题 4,7,11,12 基础巩固 1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是(　D　) (A)(0,+∞) (B)(0,2) (C)(1,+∞) (D)(0,1) 解析:该椭圆的标准方程为+=1,又因为焦点在y轴上,所以>2,得k∈(0,1).故选D. 2.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点是(0,-4),则k的值是(　A　) (A) (B) (C)8 (D)32 解析:椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点是(0,-4), 则-=16,解得k=,故选A. 3.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为(　B　) (A)+=1 (B)+=1或+=1 (C)+=1 (D)+=1或+=1 解析:由已知得2c=|F1F2|=2,所以c=. 因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4, 所以a=2,所以b2=a2-c2=9. 故椭圆C的标准方程是+=1或+=1.故选B. 4.椭圆+=1的焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°,则 △F1PF2的面积是(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:由余弦定理 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|F1F2|2, 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=144. 又|PF1|+|PF2|=20, 所以|PF1|·|PF2|=, 所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=.故选A. 5.曲线+=1与+=1(0<k<9)的关系是(　B　) (A)有相等的焦距,相同的焦点 (B)有相等的焦距,不同的焦点 (C)有不等的焦距,不同的焦点 (D)以上都不对 解析:对于+=1,a2=25,b2=9, 所以c2=16,所以c=4,焦距2c=8. 在+=1(0<k<9)中, a2=25-k,b2=9-k.所以c2=16,c=4,焦距2c=8. 但前者焦点在x轴上,后者焦点在y轴上.故选B. 6.平面内有相距4 cm的M,N两点,要画出以MN为一条对角线的平行四边形,其周长为12 cm.如图建立平面直角坐标系(O为MN的中点),则平行四边形另外两个顶点P,Q的坐标满足的方程是　　　　　. 解析:点P,Q在以M,N为焦点的椭圆上,2c=4, 所以c2=4,|PM|+|PN|=2a=12÷2=6, 所以a2=9,所以b2=a2-c2=5. 又焦点在x轴上,故方程为+=1. 且平行四边形四点不能共线,则y≠0. 答案:+=1(y≠0) 7.已知F1,F2为椭圆C:+y2=1的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=3|PF2|,则cos∠F1PF2等于　　 .  解析:由椭圆C:+y2=1, 得a2=4,b2=1, 则a=2,c==, 设|PF1|=3|PF2|=3m, 则根据椭圆的定义, 可得3m+m=4, 所以m=1, 所以|PF1|=3,|PF2|=1. 因为|F1F2|=2c=2, 所以cos∠F1PF2==-. 答案:- 能力提升 8.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:由·=0,得MF1⊥MF2,可设||=m,||=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,所以=mn=1,设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,又|F1F2|=2,故h=.故选C. 9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆在y轴上的一个顶点,若2b,|F1F2|,2a成等差数列,且△PF1F2的面积为12,则椭圆C的方程为　　 　　.  解析:由题意知,2a+2b=2|F1F2|=4c, =|F1F2|·b=bc=12, 所以a=2c-b, 又a2=b2+c2, 所以(2c-b)2=b2+c2, 解得c=4. 所以b=3,a=5. 所以椭圆C的方程为+=1. 答案:+=1 10.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,则曲线C的方程为　　　　　　　. 解析:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P与