第二章 圆锥曲线与方程 章末总结（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

章末总结 数学 网络建构 数学 专题归纳 题型一 函数与方程思想 (1)求椭圆C的方程; 数学 (2)若AB是垂直于x轴的动弦,直线l:x=4与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M. ①求证:点M恒在椭圆上; 数学 ②求△AMN面积的最大值. 数学 规律方法 本题是将△AMN面积表示为关于参数t的函数,然后将函数式进行化简变形,最后利用均值不等式进行求解,充分体现了函数与方程思想的应用. 数学 题型二 分类讨论思想 (1)求椭圆C的方程; 数学 数学 数学 规律方法 本题将距离|PQ|表示为二次函数,因不确定对称轴与区间的关系,所以需要分类讨论,分类讨论的思想在有关圆锥曲线的问题中经常用到,例如在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题时,如不确定直线的斜率是否存在,就需要分直线斜率存在与不存在两种情况进行讨论. 数学 题型三 转化与化归思想 (1)求点Q(x,y)的轨迹C的方程; 思路探究:(1)利用平面向量知识求解. 数学 (2)设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M,N,又点A(0,-1),当|AM|= |AN|时,求实数m的取值范围. 数学 数学 规律方法 化归是中学数学最基本的思想方法,数学研究的过程即“化归与等价转化”的过程,数学问题的解答过程亦即“化归与等价转化”的过程,它是一种数学思想,也是一种数学能力.化归与等价转化的原则:①熟悉化原则;②简单化原则;③正难则反原则. 在解决圆锥曲线问题时,待定系数法,“设而不求”思想,转化与化归思想是最常用的几种思想方法,“设而不求”在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具,很好地解决了计算的烦杂、琐碎问题. 数学 题型四 直线与抛物线 [例4] 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=　　　　.  数学 数学 规律方法 数学 点击进入 检测试题 数学 [例1] 如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点(2,0), (1)解:由题得c=1,a=2,b=,又焦点在x轴上, 所以椭圆方程为+=1. (2)①证明:设A(x0,y0),则B(x0,-y0), 则AF方程为y=(x-1), BN方程为y=(x-4), 联立方程可解得M(,), 而+===1, 故点M恒在椭圆C上. ②解:设直线AM的方程为x=my+1,代入+=1得(3m2+4)y2+6my-9=0, 则yA+yM=-,yAyM=-, 故S△AMN=·(xN-xF)|yA-yM|== =18, 设=t(t≥1),则S△AMN=18·=. 因为y=3t+在[1,+∞)上是增加的,故当t=1时,3t+的最小值为4, 所以(S△AMN)max=18×=. [例2] 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3. 解:(1)由e===,得a=b, 椭圆C:+=1,即x2+3y2=3b2, 设P(x,y)为C上任意一点, 则|PQ|==,-b≤y≤b, 若b<1,则-b>-1,当y=-b时, |PQ|max==3, 解得b=-5或b=1. 又b>0,则b=-5和b=1均不合题意舍去, 若b≥1,则-b≤-1,当y=-1时, |PQ|max==3,得b=1, 所以椭圆C的方程为+y2=1. 解:(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),动点P(x,y), 因为M,N在椭圆上,所以+3=3,+3=3.又=+3, 所以x=x1+3x2,y=y1+3y2, 则x2+3y2=+3(y1+3y2)2=+3+9+27+6x1x2+18y1y2 =30+6x1x2+18y1y2, 因为OM,ON的斜率之积为-,所以·=-,即x1x2+3y1y2=0, 所以动点P的轨迹方程为x2+3y2=30. (2)若动点P满足=+3,其中M,N是椭圆上不同两点,直线OM,ON的斜率之积为-,求动点P的轨迹方程. [例3] 已知向量a=(x,y),b=(1,0)且(a+b)⊥(a-b). 解:(1)由题意,得a+b=(x+,y),a-b=(x-,y), 因为(a+b)⊥(a-b), 所以(a+b)·(a-b)=0, 即(x+)(x-)+y·y=0. 化简得+y2=1, 所以Q点的轨迹C的方程为+y2=1. 思路探究:(2)设MN的中点为P,由|AM|=|AN|可得AP⊥MN,进而kAP=-,故联立直线y=kx+m与曲线方程,利用根与系数的关系并结合Δ>0可求得m的取值范围. 解:(2)由得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, 由于直线与椭圆有两个不同的交点,所以Δ>0,即m2<3k2+1.① (ⅰ)当k≠0时,设弦MN的中点为