第四章 导数应用 章末总结（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

章末总结 数学 网络建构 数学 专题归纳 题型一 转化与化归思想在导数中的应用 数学 (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方. 数学 规律方法 本题中把曲线C在直线l的下方转化为不等式g(x)>0(x>0, x≠1)恒成立问题,从而可利用导数研究函数的最值得以解决. 数学 题型二 分类讨论思想在导数中的应用 数学 规律方法 (1)分类讨论即分别归类再进行讨论,是一种重要的数学思 想,也是一种逻辑方法,同时又是一种重要的解题策略. (2)解题时首先要思考为什么分类,即分类依据是什么,一般的分类依据如方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等;其次考虑分几类,每一类中是否还需要分类. (3)分类讨论的基本原则是不重不漏. 数学 题型三 数形结合思想在导数中的应用 [例3] 设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1) 求f(x)的极值点; 数学 (2)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求实数a的取值范围; 数学 (3)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围. 解:(3)法一　f(x)≥k(x-1), 即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1), 因为x>1,所以k≤x2+x-5在(1,+∞)上恒成立, 令g(x)=x2+x-5,由二次函数的性质得g(x)在(1,+∞)上是单调递增的,所以g(x)>g(1)=-3, 所以k的取值范围是(-∞,-3]. 法二　直线y=k(x-1)过定点(1,0)且f(1)=0, 曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f′(1)=-3, 由(2)中草图知要使x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立需k≤-3. 即k的取值范围是(-∞,-3]. 数学 规律方法 在研究函数的零点问题时,需借助导数将函数的单调性与极值列出,画出函数的“草图”,数形结合分析求解. 数学 题型四 函数与方程思想在导数中的应用 数学 (2)若关于x的不等式f(x)<2有解,求a的取值范围. 数学 数学 规律方法 在利用导数求解、证明不等式或求参数的范围时,经常需要构造函数,综合利用已知条件分析研究函数的单调性、奇偶性、零点等,必要时可以考虑数形结合分析求解. 数学 点击进入 检测试题 点击进入 综合检测试题 数学 [例1]设l为曲线C:y=在点(1,0)处的切线. (1)求l的方程. (1)解:设f(x)=,则f′(x)=. 所以f′(1)=1,所以l的方程为y=x-1. (2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线l的下方等价于g(x)>0(任意x>0,x≠1). g(x)满足g(1)=0, 且g′(x)=1-f′(x)=. 当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0, 所以g′(x)<0,故g(x)单调递减; 当x>1时,x2-1>0,ln x>0, 所以g′(x)>0,故g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(任意x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线C在直线l的下方. [例2] 已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R),求f(x)的单调区间. 解:f(x)的定义域为(0,+∞), 由题意得f′(x)=x-(x>0), ①当a≤0时,f′(x)>0恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间. ②当a>0时,f′(x)=x-==. 若0<x<,则f′(x)<0, 若x>,则f′(x)>0. 所以当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,). 解:(1)f′(x)=3(x2-2),令f′(x)=0, 得x1=-,x2=. 当x∈(-∞,-)∪(,+∞)时,f′(x)>0, x∈(-,)时,f′(x)<0, 因此x1=-,x2=分别为f(x)的极大值点、极小值点. 解:(2)由(1)的分析可知y=f(x)图像的大致形状及走向如图所示. 要使直线y=a与y=f(x)的图像有3个不同交点需5-4=f()<a<f(-)=5+4, 所以当5-4<a<5+4时,方程f(x)=a有三个不同实根. 解:(1)f′(x)=-+(x>0). 易知当=时,f′(x)取得最大值,所以=2. 因为a>0,所以a=4,此时f′(x)=-+=, 当x∈(0,0时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)的极小值点为x=,无极大值点. [例4] 已知函数f(x)=+aln x(a>0). (1)若函数y=f(x)图像上各点处的切线斜率的最大值为2,求函数f(x)的极值点; 解:(2)因为f′(x)=(x>0且a>0), 所以当x∈(0,)时,