4.2 导数在实际问题中的应用（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

2.2　最大值、最小值问题 数学 课标要求:1.掌握函数最值、最值点的概念和求最值方法.2.会用导数解决实际中简单的最优化问题. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:若某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r是瓶子的半径,单位是cm.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6 cm. 想一想 (1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 数学 知识探究 1.函数的最值 (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值 f(x0). (2)函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0). (3)函数的最大值和最小值统称为 . 2.函数最值的求法 最大值或者在 取得,或者在 取得.因此,要想求函数的最大值,应首先求出函数的极大值点,然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值,在实际问题中,一般可以通过 和问题的实际意义确定最大值.函数的最小值点也具有类似的求法. 都不超过 最值 极大值点 区间的端点 函数的单调性 数学 思考:函数的极值是否一定是函数的最值? (不一定,端点也可能是函数的最值) 数学 题型一 课堂探究·素养提升 求闭区间上函数的最值 数学 数学 题后反思 求函数在[a,b]上的最值的步骤 ①求函数f(x)的导函数f′(x); ②解方程f′(x)=0,求出使得f′(x)=0的所有点; ③求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; ④将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值. 数学 跟踪训练1-1:已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的递减区间; 解:(1)f′(x)=-3x2+6x+9, 令f′(x)<0,解得x<-1或x>3. 所以函数f(x)的递减区间为(-∞,-1)和(3,+∞). 数学 (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 解:(2)因为f(-2)=2+a,f(2)=22+a,f(-1)=-5+a, 所以f(2)>f(-2)>f(-1), 于是有22+a=20,所以a=-2. 所以f(x)=-x3+3x2+9x-2, 因为在(-1,3)上f′(x)>0, 所以f(x)在[-1,2]上是增加的. 又f(x)在[-2,-1]上是减少的且f(2)>f(-2), 所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,而f(-1)=-7. 所以f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7. 数学 题型二 有关面积、容积的最值 [例2] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域; 数学 数学 (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 数学 题后反思 在求面积、容积最大值问题时,要注意充分利用几何图形,建立数学模型,列出函数关系式,再利用导数计算,但一定要注意自变量的取值范围. 数学 数学 (1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域; 数学 (2)求该容器的建造费用最小时的r. 数学 数学 题型三 利润最大、效率最高问题 数学 (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 数学 x (3,4) 4 (4,6) f′(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值42 ↘ 由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 数学 题后反思 利润问题是经济生活中最为常见的问题.一般来说,利润等于总收入减去总成本,而总收入等于销售量乘以价格.销售量与销售价格满足一定关系,由此可以得到利润与销售价格的函数关系式,进而用导数求最大利润. 数学 题型四 函数最值的综合应用 [例4] 已知函数f(x)=ax2+1(a>0)