3.4 导数的四则运算法则（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

4.2　导数的乘法与除法法则 数学 课标要求:1.掌握两个函数积与商的求导法则,会求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数.2.能运用导数的几何意义,求过曲线上一点的 切线. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] (2)(x·x)′=(x2)′=2x. (4)x′·x′=1×1=1. 数学 想一想 (两式均不成立) 数学 知识探究 导数的乘法与除法法则 f′(x)g(x)+f(x)g′(x) kf′(x) 思考:导数运算法则中的函数能否换为常数? 数学 题型一 课堂探究·素养提升 函数的积与商的求导法则的应用 数学 数学 数学 数学 题后反思 利用导数运算法则求函数的导数的策略 (1)熟记公式:熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则. (2)灵活化简:当函数式比较复杂时,要将函数形式进行化简,化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式,由于在导数的四则运算公式中,和与差的求导法则较为简单,因此化简时尽可能转化为和、差的形式,尽量少用积、商求导. 数学 解:(1)法一　f′(x)=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+1)(x-1)+ (x+1)2=3x2+2x-1. 法二　y=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1, f′(x)=(x3+x2-x-1)′=3x2+2x-1. (2)f′(x)=(x2sin x)′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. 数学 题型二 导数运算法则的综合应用 数学 (2)设曲线y=f(x)上任一点处的倾斜角为α,求α的取值范围. 数学 题后反思 (1)此类问题的解法是通过题意求出切点坐标以及切线的斜率,从而利用点斜式方程可得到切线的方程.而确定倾斜角的范围应先确定斜率的取值范围,根据正切函数的单调性求解. (2)导数运算法则的综合应用往往涉及抽象函数、不等式的解法、不等式的证明等,其核心仍是导数运算,因此需利用导数知识结合导数的运算法则进行转化,再结合其他的知识求解. 数学 备选例题 [例1] 设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),求f′(0). 解:令g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n), 则f(x)=xg(x). 两边求导,得f′(x)=x′g(x)+xg′(x) =g(x)+xg′(x), 所以f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1×2×3×…×n. 数学 [例2] 求Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1的值,其中n∈N+,x≠0. 数学 达标检测·课堂巩固 B 解析:y′=sin′xcos x+sin xcos′x=cos2x+sin x·(-sin x) =cos2x-sin2x. 故选B. 1.函数y=sin xcos x的导数是(　 　) (A)y′=cos2x+sin2x (B)y′=cos2x-sin2x (C)y′=2cos xsin x (D)y′=cos xsin x 数学 A 数学 3.曲线f(x)=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为　　　　　　　　.  解析:f′(x)=3ln x+4,故f′(1)=4,所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),化为一般式方程为4x-y-3=0. 答案:4x-y-3=0 数学 4.曲线f(x)=x(1-ax)2(a>0),且f′(2)=5,求实数a的值. 解:因为f′(x)=(1-ax)2+x[(1-ax)2]′=(1-ax)2+x(1-2ax+a2x2)′= (1-ax)2+x(-2a+2a2x), 所以f′(2)=(1-2a)2+2(-2a+4a2)=5, 即3a2-2a-1=0. 因为a>0,所以a=1. 数学 课堂小结 1.利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时,要分清函数的结构,再利用相应的法则进行求导. 2.利用导数的四则运算求导时,应先把原式进行化简或变形,如把乘法转化成加减法,把商的形式化成和差的形式,这样容易计算. 数学 点击进入 课时作业 数学 实例:(1)()′=x′=1. (3)==2x. ()′=,(x·x)′=(x)′·(x)′成立吗? 一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x).我们有[f(x)g(x)]′= ,[]′= . 特别地,当g(x)=k时,有[kf(x)]′= . (可以,例如:(1)若y=f(x)+c,则y′=f′(x);(2)若y=af(x),则y′=af′(x); (3)[]′=(f(x)≠0)) 解: