3.2 导数的概念及其几何意义（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

2.2　导数的几何意义 数学 课标要求:1.理解导数的几何意义.2.会求简单曲线在某点的切线斜率及切线方程.3.渗透“逼近”思想,培养分析、抽象、概括等思维能力. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:在初中,我们学习过圆的割线和切线,如图,l0是圆的一条切线,A为切点,l1为圆的一条割线. 数学 想一想 当点B逐渐靠近A点时,割线AB(即l1)与切线l0有什么关系? (割线AB逐渐趋近于切线l0) 数学 知识探究 1.曲线在某点处的割线与切线 斜率 (2)切线:如图所示,设函数y=f(x)的图像是一条光滑的曲线,从图像上可以看出: 当Δx趋于零时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动最后趋于直线l.直线l和曲线y=f(x)在点A处“ ”,称直线l为曲线y=f(x) . 相切 在点A处的切线 数学 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的 .函数y=f(x)在x0处切线的 反映了导数的几何意义. 思考:曲线“在点P处的切线”与“过点P的切线”的差异是什么? (在点P处的切线,点P为切点;过点P的切线,点P不一定是切点,点P也不一定在曲线上) 斜率 斜率 数学 题型一 课堂探究·素养提升 求曲线在某点处的切线方程 数学 题后反思 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k=f′(x0),切线的点斜式方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 数学 跟踪训练1-1:抛物线y=x2+4在点(-2,8)处的切线方程为　　　　　　.  答案:4x+y=0 数学 题型二 求过一已知点的切线的方程 (2)条件中有已知的切点坐标吗?若没有,应怎样求切线斜率?(没有,设出切点坐标P(x0,y0),利用导数几何意义,列式求解k=f′(x0)) 数学 数学 题后反思 求过一已知点M(x1,y1)的切线方程时,(1)若点M在曲线y=f(x)上,即点M是y=f(x)的切点时,可得切线方程为y-y1=f′(x1)(x-x1). (2)若点M不在曲线y=f(x)上,即点M不是切点时,可设切点坐标为(x0,y0),列出方程组求出切点坐标,即可得切线方程. 数学 跟踪训练2-1:求曲线y=f(x)=x2+1过点P(1,0)的切线方程. 数学 题型三 导数几何意义的综合应用 [例3] 试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程. 数学 数学 题后反思 (1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识,如直线方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学的知识; (2)解决与导数的几何意义相关的综合问题的关键是求函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点的坐标是常设的未知量. 数学 跟踪训练3-1:已知直线l1为曲线f(x)=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程; 数学 (2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积. 数学 备选例题 [例题] 已知曲线f(x)=x3,求满足斜率为3的曲线的切线方程. 数学 达标检测·课堂巩固 B 1.已知函数y=f(x)的图像如图,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　 　) (A)f′(xA)>f′(xB) (B)f′(xA)<f′(xB) (C)f′(xA)=f′(xB) (D)不能确定 数学 D 数学 3.已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,则切点坐标为　　　　,a的值为　　　　.  数学 课堂小结 1.利用导数的定义求曲线上某一点的导数,要记清导数的表达式,化简后求极限时的式子一定要有意义. 2.在求切线方程的过程中,关键是寻找两个条件:一是切点,二是切线的斜率.其中切点又是关键,需要找清切点,因为已知的点不一定是切点,因此首先要判断已知的点是否在曲线上,然后再分情况求切线方程. 数学 点击进入 课时作业 数学 (1)割线:函数y=f(x)在[x0,x0+Δx]的平均变化率为,它是过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的 .这条直线称为曲线y=f(x)在点A处的一条割线. 解:将x=2代入曲线C的方程得f(2)=4, 所以切点P(2,4). f′(2)===[4+2Δx+(Δx)2]=4. 所以k=f′(2)=4. 所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. [例1] 已知曲线C:f(x)=x3+.求曲线C在横坐标为2的