第3章 §2 导数的概念及其几何意义-2020-2021学年高中数学选修1-1【导学教程】同步辅导（北师大版）课件PPT

第三章 变化率与导数 | 数学 | 选修1-1（BSD） 菜 单 §2　导数的概念及其几何意义 [课标要求] 1．了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图像理解导数的几何意义．(难点) 2．了解导函数的概念，会求导函数．(重点) 3．利用导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点、易错点) 第三章 变化率与导数 | 数学 | 选修1-1（BSD） 菜 单 固定的值 瞬时变化率 课前预习案·素养养成 一、导数的概念 [要点梳理] 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变为f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f(x1)－f(x0),x1－x0)＝eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx).当x1趋于x0时，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个________，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的_________．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do14(x1→x0)) eq \f(f(x1)－f(x0),x1－x0)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx). 第三章 变化率与导数 | 数学 | 选修1-1（BSD） 菜 单 答案　－1 [核心突破] 对函数在某点处导数的认识 (1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量． (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关． (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛． [即时应用] 1．函数y＝eq \f(1,x)在x＝1处的导数是________． 第三章 变化率与导数 | 数学 | 选修1-1（BSD） 菜 单 切线的斜率 函数y＝f(x)在x0处切线的斜率 二、导数的几何意义 [要点梳理] 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的_______________，这就是导数的几何意义，即__________________________． [核心突破] 综合应用导数的几何意义时的注意点 (1)导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何的知识相联系． (2)导数几何意义的综合应用题目的解题关键还是求函数的某点处的导数，即切线的斜率，注意结合相关知识如函数、方程、不等式等求解． 第三章 变化率与导数 | 数学 | 选修1-1（BSD） 菜 单 答案　A [即时应用] 2．曲线y＝x3－3x在点(2,2)处的切线斜率是 A．9　　　　B．6　　　　C．－3　　　　D．－1 解析　Δy＝(2＋Δx)3－3(2＋Δx)－23＋6＝9Δx＋6(Δx)2＋(Δx)3， eq \f(Δy,Δx)＝9＋6Δx＋(Δx)2. eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do14(Δx→0)) (9＋6Δx＋(Δx)2)＝9. 由导数的几何意义可知，曲线y＝x3－3x在点(2,2)处的切线斜率是9. 第三章 变化率与导数 | 数学 | 选修1-1（BSD） 菜 单 课堂探究案·素养提升 题型一　导数的概念及应用 [例1]　将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义． [思路导引]　先由导数定义求出f′(6)，再解释它的实际意义． 第三章 变化率与导数 | 数学 | 选修1-1（BSD） 菜 单 【自主解答】　当x从6变到6＋Δx时，函数值从f(6)变到f(6＋Δx)，函数值y关于x的平均变化率为eq \f(f(6＋Δx)－f(6),Δx) ＝eq \f((6＋Δx)2－7(6＋Δx)＋15－(62－7×6＋15),Δx) ＝eq \f(5Δx＋(Δx)2,Δx)＝5＋Δx. 当x趋近于6时，即Δx趋近于0时， 平均变化率趋近于5，∴f′(6)＝5， 导数f′(6)＝5表示当x＝6 h时原油温度的瞬时变化率，即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持第6 h时温度的变化速度，每经过1 h，原油温度将升高5 ℃. 第三章 变化率与导数 | 数学 | 选修1-1（BSD） 菜 单 ◎方法技巧 利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤 第一步，求函数的增加量Δy