3.1 变化的快慢与变化率（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

第三章　变化率与导数 　§1 变化的快慢与变化率 数学 课标要求:1.理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率,并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢.3.会求给定函数在某点处的瞬时变化率,并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:一物体从80 m高的楼台落向地面,离地面的高度h(单位:m)与时间t (单位:s)的关系为h(t)=80-5t2. 想一想1:物体在1～2 s和1～4 s这两段时间内,哪一段时间下落得快? 数学 知识探究 1.函数的平均变化率 数学 思考1:平均变化率可以是零吗?举例说明. (可以是零,如函数f(x)=a(a为常数)) Δx趋于0 一点 思考2:Δx趋于0是指Δx越来越小吗? (不是.因为Δx取值可正、可负,所以Δx趋于0,是指|Δx|越来越小,越来越接近于0) 数学 题型一 课堂探究·素养提升 函数的平均变化率 [例1] 已知函数f(x)=3x+1和g(x)=2x2+1. (1)分别求函数f(x)和g(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率; 数学 (2)比较两函数在区间[-3,-1]上函数值变化的快慢. 解:(2)由(1)可知,函数f(x)和g(x)在区间[-3,-1]上的平均变化率分别为3,-8,而|3|<|-8|,故函数g(x)在区间[-3,-1]上变化得较快. 数学 题后反思 求函数平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy=f(x1)-f(x0); (2)再计算自变量的改变量Δx=x1-x0; 数学 跟踪训练1-1:函数y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是(　　 ) (A)2 (B)2x (C)2+Δx (D)2+(Δx)2 数学 题型二 函数的瞬时变化率 [例2] 圆的面积随半径的变化而变化,试写出圆的面积在半径等于2时的瞬时变化率. 数学 数学 数学 题后反思 估计瞬时变化率的四个步骤 第一步,定点,明确求哪个点处的瞬时变化率; 第二步,定区间,以此点为端点取一个区间计算平均变化率; 第三步,缩区间,逐步缩小区间的长度; 第四步,估计值,据平均变化率逼近的情况估计瞬时变化率. 数学 跟踪训练2-1:一物体做变速直线运动,其运动方程为s(t)=-t2+2t,求t=0时的瞬时变化率. 数学 题型三 变化率的应用 数学 数学 题后反思 解此类题首先要弄清物体的运动方程,然后根据瞬时速度的意义,代入公式就可以求解. 数学 跟踪训练3-1:一小球沿斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位: m,时间单位:s).求小球在5 s到6 s间的平均速度和5 s到5.1 s间的平均速度,并与匀加速直线运动速度公式求得t=5时的瞬时速度进行比较,哪个平均速度更接近5 s 时的瞬时速度? 数学 备选例题 [例1] 求y=f(x)=2x2+1在x0到x0+Δx之间的平均变化率. 数学 [例2] 如果质点按规律s=3t2运动,求t=3时质点运动的瞬时速度. 数学 达标检测·课堂巩固 D 数学 2.如果质点M按规律s=3+t2运动,则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是(　 　) (A)4 (B)4.1 (C)0.41 (D)3 B 数学 数学 4.一质点运动规律是s=t2+3(s的单位为m,t的单位为s),则在t=1 s时的瞬时速度估计是　　　　m/s.  答案:2 数学 课堂小结 1.Δx是自变量x2相当于x1处的改变量,且x2是x1附近的任意一点,即Δx=x2-x1≠0,但Δx可以为正,也可以为负. 3.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系. (1)区别:平均变化率是刻画函数在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率是刻画函数在x0处变化的快慢; 数学 点击进入 课时作业 数学 (在1～2 s这段时间内,物体的平均速度为=-15(m/s),在1～4 s这段时间内,物体的平均速度为=-25(m/s),所以物体在1～4 s这段时间内下落得快) 对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),它的平均变化率为 . 通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量的改变量,记作Δx,函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量,记作Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即=. 我们用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 2.函数的瞬时变化率 对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x