2.2 抛物线（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

2.2　抛物线的简单性质 数学 课标要求:1.理解并掌握抛物线的简单性质以及抛物线的简单画法.2.能利用抛物线的简单性质解决与抛物线相关的问题. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:已知抛物线y2=8x,其图像如图所示. 数学 想一想(1)观察实例中图像可知抛物线y2=8x上的点的坐标的范围是怎 样的? (抛物线上的点的横坐标x≥0,纵坐标y∈R) (2)y2=8x的图像有什么对称性? (关于x轴对称) 数学 知识探究 1.抛物线的几何性质 左 下 数学 思考: 影响抛物线开口大小的量是什么,如何影响的? (参数p影响抛物线的开口大小,p的值越大,抛物线的开口越开阔,p越小,抛物线的开口越扁狭) 2.抛物线的通径 通过抛物线y2=2px(p>0)的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐 标分别为 ， .连接这两点的线段叫作抛物线的通径,它的长为 ,这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义. 2p 数学 数学 (2)直线与抛物线的位置关系 设直线方程y=kx+b,抛物线方程为y2=2px(p>0),联立,消去y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0. ①当k=0时,直线与抛物线对称轴平行(b=0时重合),直线与抛物线有一个交点; ②当k≠0时,若Δ>0,直线与抛物线相交,有两个不同的公共点; 若Δ=0,直线与抛物线相切,有一个公共点; 若Δ<0,直线与抛物线相离,没有公共点. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 抛物线的简单性质 [例1] 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2= 2px(p>0)上,求这个正三角形的边长. 数学 跟踪训练1-1:已知A,B为抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为原点,若|OA|= |OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方程是(　　) 数学 题型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题 [例2] (1)如图所示,直线y=m与抛物线y2=8x交于点A,与圆(x-2)2+y2=16的实线部分交于点B,F为抛物线的焦点,则△ABF的周长的取值范围是 (　　) (A)(6,8) (B)(4,6) (C)(8,12) (D)(8,10) 名师导引:(1)由抛物线定义可得|AF|=xA+2,由已知条件推导出△FAB的周长=6+xB,由此能求出三角形ABF的周长的取值范围; 数学 解析:(1)抛物线的准线l:x=-2,焦点F(2,0), 由抛物线定义可得|AF|=xA+2, 所以△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB, 由抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16, 得交点的横坐标为2, 所以xB∈(2,6), 所以6+xB∈(8,12), 所以三角形ABF的周长的取值范围是(8,12). 故选C. 数学 (2)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两 点,则|AB|等于(　　) 名师导引:(2)确定焦点坐标,写出直线方程,把直线方程和抛物线方程联立得到一元二次方程,利用根与系数关系和弦长公式求得弦长. 数学 数学 题后反思 (1)抛物线的焦半径 ①抛物线的焦半径是指以抛物线上的任意一点与抛物线的焦点为端点的线段. ②抛物线的焦半径公式:P(x0,y0)为抛物线上一点,F为焦点. (2)过焦点的弦长的求解方法 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在的直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可. 数学 跟踪训练2-1 (1)已知抛物线y2=2px(p>0),直线l经过其焦点且与x轴垂 直,并交抛物线于A,B两点,若|AB|=10,P为抛物线的准线上一点,则△ABP的面积为　　　　;  答案:(1)25 数学 答案:(2)2∶3 数学 题型三 直线与抛物线的位置关系 [例3] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C的方程; 解:(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8), 所以(-8)2=2p×8,所以2p=8, 所以抛物线C的方程为y2=8x. 数学 (2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积. 数学 跟踪训练3-1:在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H. 数学 (2)除H以外,直线MH与C是否有其他