2.1 椭圆（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

第二课时　椭圆及其标准方程(二) 数学 课标要求:1.进一步掌握椭圆的定义及其标准方程.2.能用待定系数法求椭圆的标准方程.3.能灵活运用椭圆定义解决有关问题. 数学 课堂探究 达标检测 数学 题型一 课堂探究·素养提升 焦点三角形问题 [例1] 如图所示,已知椭圆的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一 点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|. (1)求此椭圆的方程; 数学 数学 (2)若点P在第二象限,∠F2F1P=120°,求△PF1F2的面积. 数学 题后反思 (1)在涉及有关椭圆的焦点三角形问题时,我们经常利用椭圆的定义,使用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式求解. 数学 数学 题型二 与椭圆有关的轨迹问题 数学 题后反思 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时,一般利用相关点法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为 (1)设点:设所求轨迹上动点坐标为P(x,y),已知曲线上动点坐标为Q(x1,y1). (3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程,并把所得方程化简即可. 数学 跟踪训练2-1:已知一个圆的圆心为坐标原点O,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线PP′,P′为垂足. (1)求线段PP′中点M的轨迹方程; 数学 (2)已知直线x-y-2=0与M的轨迹相交于A,B两点,求△OAB的面积. 数学 题型三 焦点三角形中的分类讨论 名师导引:本题主要考查焦点三角形问题,注意分清直角三角形中的“直角”. 数学 数学 数学 题后反思 焦点三角形问题中,|PF1|,|PF2|和|F1F2|为三角形三边,解决此类问题要充分利用定义及三角形中的边角关系、正弦定理、余弦定理.本题解题的难点在于对直角顶点的讨论,体现了分类讨论思想.但很容易漏掉讨论,导致题目漏解而出错. 数学 备选例题 [例题] 已知一动圆与圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,求动圆圆心的轨迹方程. 数学 数学 题后反思 用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义,若符合,则确定椭圆的方程. 数学 达标检测·课堂巩固 1.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值、最小值分别为(　 　) A 数学 答案:24 数学 数学 4.如图,已知定点P(1,0),动点Q在圆C:(x+1)2+y2=16上,PQ的垂直平分线交CQ于点M,则动点M的轨迹方程是　　　 　　　.  数学 课堂小结 1.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形,解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合勾股定理、正弦定理、余弦定理求解. 2.利用椭圆的定义求动点的轨迹方程,应根据动点具有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两个定点的距离之和是否是一个常数,且该常数(定值)大于两点间距离,若符合,则动点的轨迹就是椭圆,然后确定椭圆的方程,这就是用定义法求椭圆的标准方程的方法,要注意验证. 数学 点击进入 课时作业 数学 名师导引:(1)F1(-1,0),F2(1,0)→|F1F2|=2→|PF1|+|PF2|=4→a=2,又c=1→b2=3→方程 解:(1)由已知得c=1,|F1F2|=2, 所以4=|PF1|+|PF2|=2a, 所以a=2. 所以b2=a2-c2=4-1=3. 所以椭圆的方程为+=1. 名师导引:(2)|PF1|+|PF2|=4→|PF2|=4-|PF1|→在△PF1F2中利用余弦定理→求出|PF1|→=|PF1|·|F1F2|sin 120°→结论 解:(2)在△PF1F2中,|PF2|=2a-|PF1|=4-|PF1|. 由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|cos 120°, 即(4-|PF1|)2=|PF1|2+4+2|PF1|, 所以|PF1|=. 所以=|F1F2|·|PF1|·sin 120°=×2××=. (2)本题若给出∠F1PF2=θ,则规律性更强.一般地,若点P在椭圆+=1(a>b>0)上,F1,F2为椭圆的焦点,且∠F1PF2=θ,则△PF1F2的面积等于b2tan. 跟踪训练1-1:已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,求b的值. 解:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则 所以2r1r2=(r1+r2)2-(+)=4a2-4c2=4b2, 所以=r1r2=b2=9,所以b=3. [例2] 已知