解密07 平面向量（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密07 平面向量 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 平面向量的概念及线性运算 平面向量的概念一般不直接考查，通常是结合后面的知识进行综合考查．平面向量的线性运算是高考考查的一个热点内容，常以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题． 平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换． 平面向量的数量积也一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主. 平面向量既有数，又有形，既有代数形式的向量加、减、数乘及数量积运算，又有向量加、减、数乘及数量积的几何意义，因此，高考的考查既有对向量的独立命题，也常与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合命题，解题时，注意向量的工具性及数形结合、转化与化归数学思想的运用. 2021全国乙卷14 2021全国甲卷14 2019新课标全国Ⅱ 13 2018新课标全国III 6 2018新课标全国Ⅰ 14 2018新课标全国Ⅰ 6 ★★★ 平面向量的基本定理及坐标表示 2018新课标全国III 13 ★ 平面向量的数量积及向量的应用 2021年新课标全国Ⅰ 11 2019新课标全国Ⅰ 7 2019新课标全国Ⅱ 3 2019新课标全国III 13 2018新课标全国Ⅰ 8 2018新课标全国Ⅱ 4 2018新课标全国III 20 ★★★★★ 考点一 平面向量的概念及线性运算 ☆技巧点拨☆ 共线向量定理的主要应用： （1）证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线． 【注】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合．向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个. （2）证明三点共线：若存在实数λ，使 ，则A，B，C三点共线． 【注】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． 对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O， 不共线，满足 (x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y=1. （3） 求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 例题1．设 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则存在实数λ，使得 D．若存在实数λ，使得 ，则 【答案】C 【分析】对于A，若 ，则 ， 得 ，∴ 不垂直，故A错误； 对于B，由A解析可知 ，故B错误； 对于C，若 ，则 ， 得 ，则 ，则 与 反向，因此存在实数λ，使得 ，故C正确； 对于D，若存在实数λ，使得 ，则 ， ，若 ，则 ，故D错误.故选：C 例题2．过 的中线 的中点 作直线 分别交 ､ 于 ､ 两点，若 ，则 （ ） A．4 B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】解：由 为 的中点可知， ， ，设 ， 则 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 与 不共线， EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ， EMBED Equation.DSMT4 故选： . 例题3．已知 中， ， ，垂足为 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 如图，过 分别作 、 的平行线交 于 、交 于 ，则 . ， ， ， 所以， ， ， ， ，故 ， 所以，四边形 为菱形， 因为 ，则 ， . ， 与 重合，则 ， 所以， ， 故选：A. 例题4．设 为 所在平面上一点.若实数x、y、z满足 ，则“ ”是“点 在 的边所在直线上”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件. 【答案】C 【分析】 EMBED Equation.DSMT4 为 所在平面上一点，且实数x、y、z满足 若“ ”，则 中只能有一个为0，否则若 ，得 ，这与 矛盾； 假设 （ 不为0），可得 ， ， 向量 和 共线， 点 在 的边BC所在直线上； 若点 在 的边所在直线上，假设在AB上，说明向量 和 共线， ， “ ”是“点