3.1　正整数指数函数（课时作业）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§1　正整数指数函数 选题明细表 知识点、方法 题号 正整数指数函数的概念 1 正整数指数函数的图像与性质 2,3,4,10 正整数指数函数的应用 5,6,7,8,9 基础巩固 1.函数y=(a2-3a+3)·ax(x∈N+)是正整数指数函数,则有(　C　) (A)a=1或a=2 (B)a=1 (C)a=2 (D)a>0且a≠1 解析:由题意知所以a=2.故选C. 2.下列给出的四个正整数指数函数中,在定义域内是减少的是(　C　) (A)y=1.2x(x∈N+) (B)y=3x(x∈N+) (C)y=0.99x(x∈N+) (D)y=6x(x∈N+) 解析:A,B,D中底数均大于1,对应函数均为增加的,C中底数0.99∈(0,1),所以y=0.99x(x∈N+)是减少的.故选C. 3.正整数指数函数y=ax在[1,2]上的最大值与最小值之和为6,则a等于(　B　) (A)-3 (B)2 (C)-3或2 (D)以上均不对 解析:因为正整数指数函数y=ax在[1,2]上单调,由题意得a+a2=6(a>0且a≠1),解得a=2.故选B. 4.若正整数指数函数f(x)=(a+1)x的图像如图所示,则a的值是(　B　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:根据函数f(x)=(a+1)x的图像特征,可知a+1=2,所以a=1. 5.春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了　　　　天.  解析:依题意,设荷叶覆盖水面的初始面积为1,则x天后荷叶覆盖水面的面积为y=2x-1(x∈N+).当x=20时,荷叶长满池塘水面,故当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,有2x-1=×220-1,解得x=19,即生长19天时,荷叶覆盖水面面积的一半. 答案:19 6.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,漂洗的次数x与存留污垢y的函数关系式为　　　　　　　　　.  解析:设原来污垢数为1个单位,则经过第一次漂洗,存留量为原来的;经过第二次漂洗,存留量为第一次漂洗后的,也就是原来的() 2,经过第三次漂洗,存留量为原来的()3,…,经过第x次漂洗,存留量为原来的()x,故解析式为y=()x(x∈N+). 答案:y=()x(x∈N+) 能力提升 7.某人2013年8月30日到银行存入一年期存款a元,若年利率为x,且按复利计算,到2021年8月30日可取回(　A　) (A)a(1+x)8元 (B)a(1+x)9元 (C)a(1+x8)元 (D)a+a(1+x)8元 解析:由题意知一年后可取回a(1+x)元,两年后可取回a(1+x)2元,…, 2021年8月30日可取回a(1+x)8元.故选A. 8.某电子元件厂生产一种元件的原成本为10元,在今后 5年内,计划使成本平均每年比上一年降低1%,则成本y随经过的年数x变化的函数解析式是　　　　　　　.  解析:由题意得y=10×(1-1%)x=10×0.99x(x=1,2,3,4,5). 答案:y=10×0.99x(x=1,2,3,4,5) 9.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余物质的质量约是原来的,则经过　　　　年,剩余的物质是原来的.  解析:设物质最初的质量为1,则经过x年,y=() x. 依题意得() x=,解得x=3. 答案:3 素养培优 10.已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27). (1)求函数f(x)的解析式. (2)求f(5). (3)函数f(x)有最值吗?若有,试求出;若无,请说明原因. 解:(1)设正整数指数函数为f(x)=ax(a>0,且a≠1,x∈N+). 因为函数f(x)的图像经过点(3,27), 所以f(3)=27, 即a3=27.所以a=3. 函数f(x)的解析式为f(x)=3x(x∈N+). (2)f(5)=35=243. (3)因为正整数指数函数f(x)=3x(x∈N+)在正整数集N+上是增加的,故函数无最大值,有最小值为f(1)=3. $