专题11 指数函数-【必考锦集】2021-2022学年高一数学同步考点锦集（北师大版必修1）

专题11指数函数 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【考点梳理】 考点一、指数函数的概念： 函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 【微点拨】： （1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像 ， ， 等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果 ，则 ②如果 ，则对于一些函数，比如 ，当 时，在实数范围内函数值不存在． ③如果 ，则 是个常量，就没研究的必要了． 考点二、指数函数的图象及性质： y=ax 0<a<1时图象 a>1时图象 图象 性质 ①定义域R，值域 （0，+∞） ②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，ax>1 x>0时，0<ax<1 ⑤x<0时，0<ax<1 x>0时，ax>1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 【微点拨】： （1）当底数大小不定时，必须分“ ”和“ ”两种情形讨论． （2）当 时， ；当 时 ． 当 时， 的值越大，图象越靠近 轴，递增速度越快． 当 时， 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快． （3）指数函数 与 的图象关于 轴对称． 考点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） 1 ② ③ ④ 则：0＜b＜a＜1＜d＜c 又即：x∈(0,+∞)时， （底大幂大） x∈(－∞,0)时， （2）特殊函数 的图像： 考点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若 ； ； ； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断 ，或 即可． 【典型例题】 类型一、函数的定义域、值域 例1．求下列函数的定义域、值域. (1) ；(2)y=4x-2x+1；(3) ；(4) (a为大于1的常数) 【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [ )；（3） ；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a，+∞) 【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x R，3x≠-1). ∵ ，又∵ 3x>0， 1+3x>1， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R， ，∵ 2x>0， ∴ 即 x=-1时，y取最小值 ，同时y可以取一切大于 的实数，∴ 值域为[ ). (3)要使函数有意义可得到不等式 ，即 ，又函数 是增函数，所以 ，即 ，即 ，值域是 . (4)∵ ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵ ，∴ ， ∴值域为[1，a)∪(a，+∞). 【总结】求值域时有时要用到函数单调性；第(4)小题中 不能遗漏. 【变式1】求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【答案】（1）R；（2） ；（3） ；（4）a>1时， ；0<a<1时， 【解析】(1)R (2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即 ，即 ． (3) 为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即 (4) 为使得原函数有意义，需满足 ，即 ，所以a>1时， ；0<a<1时， . 【总结】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系. 类型二、指数函数的单调性及其应用 例2．讨论函数 的单调性，并求其值域． 【点拨】对于x∈R， 恒成立，因此可以通过作商讨论函数 的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果． 【答案】函数 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】 解法一：∵函数 的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2， ∴ ， ， ． （1）当