3.1　正整数指数函数（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

第三章　指数函数和对数函数 §1　正整数指数函数 数学 课标要求:1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.理解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及单调性.4.体会正整数指数函数在实际生活中的应用. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:一根1 m长的细线,每次都剪去其一半,经过n次,剩余细线的长度为多少? (1)用列表法表示剩余细线的长度; 数学 想一想 上述函数解析式有什么结构特征? (2)用图像表示剩余细线的长度与剪的次数n之间的关系,如图; 答案:(1)幂的形式;(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数;(3)幂的指数是一个变量,且在N+中取值. 数学 正整数指数函数的概念 一般地,函数y=ax(a>0,a≠1,x∈N+)叫作正整数指数函数,其中x是自变量,定义域是 . 探究:(1)正整数指数函数具有什么特点? 答案:a>0且a≠1;定义域是N+;ax的系数为1;自变量x在指数的位置. (2)正整数指数函数图像有什么特点? 答案:图像是由一些孤立的点组成的. 知识探究 正整数集N+ 数学 题型一 课堂探究·素养提升 正整数指数函数的概念 [例1] 下列函数哪些是正整数指数函数?哪些不是?为什么? (1)y=x4(x∈N+); (2)y=-4x(x∈N+); (3)y=(-4)x(x∈N+); (4)y=xx(x∈N+); 解:(5)是正整数指数函数,因为它符合正整数指数函数的定义. (1)不是,为幂函数. (2)不是,函数的系数为-1,不符合正整数指数函数的定义. (3)不是,函数的底数-4<0,不符合正整数指数函数的定义. (4)不是,函数的底数是变量而不是常量,不符合正整数指数函数的定义. 数学 即时训练1-1:正整数指数函数y=f(x)的图像经过点(2,16),则函数的解析式为(　　) (A)y=4x,x∈R (B)y=(-4)x,x∈R (C)y=4x,x∈N+ (D)y=(-4)x,x∈N+ 解析:设y=ax(a>0且a≠1,x∈N+),将(2,16)代入得16=a2,所以a=4,所以y=4x,x∈N+.故选C. 数学 题型二 正整数指数函数的图像与性质 (2)函数y=3x(x∈N+)的图像如图(2)所示,由图像可知,函数y=3x(x∈N+)是单调递增的. 数学 易错警示 根据函数解析式作函数图像,一定要注意定义域的范围,这是解决此类问题易忽略的地方.正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成的.当0<a<1时,函数y=ax(x∈N+)是减函数;当a>1时,函数y=ax(x∈N+)是增函数. 数学 即时训练2-1:函数f(x)=ax(a>0,a≠1,x∈N+)在[1,3]上是增加的,且最大值与最小值的差为a,则a=　　　　.  数学 题型三 正整数指数函数的实际应用 [例3] 按复利计算利息的一种储蓄,本金为a,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数解析式.如果存入本金1 000元,每期利率为2.25%,试计算6期后的本利和是多少. 解:已知本金为a, 存1期后的本利和为y=a+a·r=a(1+r); 存2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)·r=a(1+r)2; 存3期后的本利和为y=a(1+r)2+a(1+r)2·r=a(1+r)3; … 故存x期后的本利和为y=a(1+r)x. 将a=1 000元,r=2.25%,x=6代入上式,得y=1 000×(1+2.25%)6=1 000×1.022 56, 利用计算器计算得y≈1 142.83元, 故本利和y随存期x变化的函数解析式为y=a(1+r)x(x∈N+),6期后的本利和约为 1 142.83元. 数学 方法技巧 平均增长问题的计算公式为y=a(1+p%)x,平均下降问题的计算公式为y= a(1-p%)x,其中a为基础量,p%为增长(下降)率,x为时间,y为总量;储蓄中复利计算公式为y=a(1+r)x,其中a为本金,r为每期利率,x为期数,y为本利和. 数学 备选例题 [例1] 某工厂生产A,B两种不同成本的产品,由于市场变化,A产品连续两次提价20%,同时B产品连续两次降价20%,结果都以23.04元每件售出,若同时出售A,B产品各一件,试问厂家是亏还是赚,亏赚多少? 解:设A,B两种产品原价分别为a元/件,b元/件, 由题意知,a(1+20%)2=23.04, 解得a=16, b(1-20%)2=23.04,解得b=36, A,B产品各出售一件,原来能卖16+36=52(元), 现在能卖23.04×2=46.08(元),因为52>46.08, 所以厂家是亏了,亏了52-46.08=5.92(元). 数