2.3　函数的单调性（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§3　函数的单调性 数学 课标要求:1.理解函数的单调性和单调函数的意义.2.会判断和证明简单函数的单调性. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 数学 想一想 实例中f(x)随x增大是如何变化的? 数学 1.函数单调性的有关概念 (1)增加的(或减少的) 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有 (或 ),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加(或减少)的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增(或递减)的. (2)单调区间 如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为 . 知识探究 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 单调区间 数学 (3)单调性 如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有 . (4)单调函数(增函数或减函数) 如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为 或 ,统称为 . 探究1:函数f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增加的或减少的,能不能就说f(x)在A∪B上是增加的或减少的呢? 单调性 增函数 减函数 单调函数 数学 答案:由函数增加的定义,满足(1)则对任意x1<x2,有f(x1)<f(x2),f(x)为增加的.同理满足(2)f(x)为减少的. 2.函数的最大(小)值 一般地,对于函数y=f(x),其定义域为D. (1)如果存在x0∈D,f(x0)=M,使得对于任意的x∈D,都有 ,那么称M是函数y=f(x)的最大值,即当x=x0时,f(x0)是函数y=f(x)的最大值,记作ymax=f(x0). f(x)≤M 数学 (2)如果存在x0∈D,f(x0)=m,使得对于任意的x∈D,都有 ,那么称m是函数y=f(x)的最小值,即当x=x0时,f(x0)是函数y=f(x)的最小值,记作ymin=f(x0). 拓展提升:函数的单调性与最值的关系 (1)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上是增加(或减少)的,则函数的最小值 (或最大值)为f(a),最大值(或最小值)为f(b); (2)若函数y=f(x)在开区间(a,b)上是增加(或减少)的,则函数在(a,b)上不存在最值,但可以说函数在(a,b)上的值域为(f(a),f(b))(或(f(b),f(a))). f(x)≥m 数学 题型一 课堂探究·素养提升 判断或证明函数的单调性 [思考1] (1)函数单调性的定义中,x1,x2有哪几个特征? 提示:①任意性,即x1,x2是某一区间上的任意两个值,不能用特殊值代换. ②有大小,即确定的两个值x1,x2必须区分大小,一般令x1<x2. ③同属一个单调区间. (2)判断函数单调性时常用的结论有哪些? 提示:①函数y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反. ③在公共区间内,“增+增=增”“减+减=减”“增-减=增”“减-增=减”. 数学 解:(1)因为函数f(x)的图像过点(1,5), 所以1+m=5,所以m=4. (1)求实数m的值; 数学 (2)判断函数f(x)在(2,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论. 数学 变式探究1-1:试判断本例中,函数f(x)在(0,2)上的单调性. 数学 思维总结 证明函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择题或填空题时有时可用图像法),利用定义法证明函数单调性的步骤: 数学 题型二 求函数的单调区间 [思考2] (1)函数的单调区间与函数的定义域之间有怎样的关系? 提示:单调区间是函数定义域的子集. (2)函数的单调区间能否用“∪”连接? 数学 [例2] 作出函数f(x)=x2+2|x|的图像(不用写作法),并依据图像求函数的增区间和函数的值域. 名师导引:(1)解析式中含有绝对值应如何处理?(去掉绝对值,转化为分段函数) (2)如何借助于函数图像来确定函数的单调区间?(看曲线在哪些区间上是上升的,在哪些区间上是下降的) 数学 方法技巧 (1)求函数单调区间的方法: ①利用基本初等函数的单调性,其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解. ②利用函数的图像. (2)若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”或“和”隔开. 数学 即时训练2-1:如图所示为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图像,则函数f(x)的单调递增区间是　　　　.  解析:由图像知该函数的单调递增区间为[-1.5,3]和[5,6]. 答案:[-1.5,3]和[5,6] 数学 即时训练2-