2.5　简单的幂函数（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§5　简单的幂函数 数学 课标要求:1.了解指数是整数的简单幂函数的概念,会利用定义证明简单函数的奇偶性.2.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:观察下列函数图像: 想一想 1:函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的解析式有怎样的特征? 答案:底数是自变量x,指数是常数;幂前的系数为1;项数只有一项. 数学 想一想 2:观察实例中函数y=x,y=x3,y=x-1的图像,说说对于任意的x和-x,所对应的f(x)与f(-x)的值有什么关系?函数y=x2呢? 答案:对于y=x,y=x3和y=x-1,对任意的x和-x,有f(-x)=-f(x);而对于y= x2,对任意的x和-x,有f(-x)=f(x). 数学 1.幂函数 如果一个函数, 是自变量x, 是常量α,即 ,这样的函数称为幂函数. 探究1:当α>0时,幂函数y=xα的图像过哪两个定点?在[0,+∞)上的单调性呢? 答案:过点(0,0),(1,1),在[0,+∞)上是增加的. 探究2:当α<0时,幂函数y=xα的图像过哪个定点?在(0,+∞)上的单调 性呢? 答案:过点(1,1),在(0,+∞)上是减少的. 知识探究 底数 指数 y=xα 数学 奇函数 2.函数的奇偶性 一般地,图像关于原点对称的函数叫作 .如果函数f(x)是奇函数,则一定满足 ;反之定义域内任意x满足 f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作 .如果f(x)是偶函数,则一定满足 ;反之定义域内任意x满足 f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数.当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称函数具有奇偶性. 探究3:若奇函数f(x)在[a,b]上是增加的,则在区间[-b,-a]上增减性如何?偶函数呢? 答案:若奇函数f(x)在[a,b]上是增加的,则其在[-b,-a]上也是增加的,即增减性一致. 若偶函数f(x)在[a,b]上是增加的,则其在[-b,-a]上是减少的,即增减性相反. 探究4:若一个函数具有奇偶性,则它的定义域有何特征? 答案:若函数具有奇偶性,则它的定义域关于原点对称. f(-x)=-f(x) 偶函数 f(-x)=f(x) 数学 题型一 课堂探究·素养提升 幂函数的概念及性质 [例1] 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在(0,+∞)上是增加的,试确定m的值. 名师导引:(1)由幂函数的结构特征,能得到关于m的什么方程?(m2-m-5=1) (2)由幂函数f(x)在(0,+∞)上是增加的,能得到关于m的什么不等式?(m-1>0) 解:根据幂函数的定义得m2-m-5=1, 解得m=3或m=-2, 当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增加的; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减少的,不符合要求. 故m=3. 数学 思维总结 一个函数y=xα为幂函数需要满足三个特征: (1)xα的系数为1. (2)底数为自变量x. (3)项数只有一项. 数学 数学 题型二 函数奇偶性判断 名师导引:确定函数的奇偶性,首先确定其定义域是否关于原点对称,然后化简解析式,要注意等价转化,再验证f(x)与f(-x)的关系. (2)因为f(x)=x3的定义域为R,关于原点对称且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x), 所以f(x)=x3为奇函数. 数学 (3)因为f(x)=|x|的定义域为R, 关于原点对称且f(-x)=|-x|=f(x). 所以f(x)=|x|为偶函数. 数学 思维总结 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下: ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数,若对称,则进行下一步. ②验证.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x). ③下结论.若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数; 若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数; 若f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),则f(x)为非奇非偶函数. 数学 (2)图像法 ①若f(x)的图像关于原点对称,则f(x)是奇函数. ②若f(x)的图像关于y轴对称,则f(x)是偶函数. ③若f(x)的图像既关于原点对称,又关于y轴对称,则f(x)既是奇函数,又是偶函数. ④若f(x)的图像既不关于原点对称,又不关于y轴对称,则f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 数学 即时训练2-1:判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2-|x|; 解:(1)因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(