3.2　指数扩充及其运算性质（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§2　指数扩充及其运算性质 2.1　指数概念的扩充 2.2　指数运算的性质 数学 课标要求:1.理解分数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义.2.掌握分数指数幂与根式的互化.3.掌握幂的运算性质.4.能熟练地运用性质进行化简或求值. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:回顾初中学过的整数指数幂的意义 想一想 能否用分数指数幂或根式的形式表示一个数? 答案:能. 数学 知识探究 (4)0的正分数指数幂等于 ;0的负分数指数幂没有意义. 0 数学 2.无理数指数幂 一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数. ②0的正无理数次幂为0,0的负无理数次幂无意义. (2)实数指数幂的运算性质 ①am·an= ; ②(am)n= =(an)m; ③(ab)n= . (a>0,b>0,m,n∈R) am+n amn anbn 数学 题型一 课堂探究·素养提升 根式与分数指数幂的互化 数学 思维总结 (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. (3)当表达式中的根号较多时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂的形式写出来,然后再利用相关的运算性质进行化简. 数学 答案:(1)B　(2)6 数学 题型二 应用分数指数幂及运算性质化简与求值 数学 思维总结 利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序. (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算. (3)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示. 数学 数学 题型三 实数指数幂及其运算 [例3] 若100x=9,10y=4,则102x -y×10x+3y=　　　　　.  名师导引:将102x-y×10x+3y用102x,10x,102y表示,然后代入求值. 答案:432 数学 思维总结 解决此类问题的思路步骤如下 数学 答案:(1)8　(2)5 数学 备选例题 数学 (2)因为(a+a-1)2=a2+a-2+2=196, 所以a2+a-2=194. 数学 方法技巧 (1)条件求值问题可分析条件式与所求式的区别与联系,有时通过化简变形把已知条件整体代入,有时需根据已知条件求出某字母的值再代入. (2)平方在知值求值中的应用:遇到式子中含有指数互为相反数的数,通常用平方进行解决,平方后观察条件和结论的关系,变形求解即可,本题中用到了公式(a+b)2=a2+2ab+b2. 数学 达标检测 A 数学 C 解析:原式=|2-a|+|3-a|,因为2<a<3,所以原式=a-2+3-a=1. 数学 A 数学 4.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y=　　　　.  解析:由2x=8y+1,得2x=23y+3, 所以x=3y+3. ① 由9y=3x-9,得32y=3x-9, 所以2y=x-9. ② 由①②联立方程组,解得x=21,y=6, 所以x+y=27. 答案:27 数学 1.在根式的化简与求值中,一般是先将根式化成分数指数幂,再进行运算. 2.幂的运算中,结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能同时含有分母和负分数指数幂,若无特殊说明,结果一般用分数指数幂的形式表示. 3.对条件求值问题,要弄清已知与未知的联系,采用“整体代换”或“求值后代换”求值. 课堂小结 数学 点击进入 课时作业 数学 当指数为正整数时,an表示n个a相乘;当指数为0时,规定a0=1,此时a≠0;当指数为负整数时,规定a-n=(a≠0,n∈N+). 1.分数指数幂 (1)分数指数幂 定义:给定正实数a,对于任意给定的整数m,n(m,n互素),存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们把b叫作a的次幂,记作 .它就是分数指数幂. b= (2)正分数指数幂的根式形式:= (a>0). (3)负分数指数幂 ①负分数指数幂的意义:=(a>0,m,n∈N+,且 n>1). ②负分数指数幂的根式形式:=(a>0). 3.实数指数幂 (1)实数指数幂的性质 ①1α=1,a-α=(a>0); [例1] 将下列根式化成分数指数幂的形式: (1)(a>0);(2)(x>0,y>0);(3)((b>0). 解:(1)原式====. (2)原式===. (3)原式=[(==. 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母, 被开方数(式)的指数分数指数的分子. 即时训练1-1:(1)设a>0,将表示成分数指数幂,其结果是(　　) (A)a (B) (C) (D)