4.2　实际问题的函数建模（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§2　实际问题的函数建模 2.1　实际问题的函数刻画 2.2　用函数模型解决实际问题 2.3　函数建模案例 数学 课标要求:1.体会解决实际问题中建立函数模型的过程,进一步掌握常用的函数模型.2.会建立函数模型解决实际问题.3.体会函数思想在解决现实问题中的应用. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:某老板有一笔资金用于投资,现有两种投资方案: 方案一:第一天回报20元,以后每天比前一天多回报20元; 方案二:第一天回报1.5元,以后每天的回报比前一天翻一番. 想一想 请你分别列出实例中方案一与方案二的解析式,并进行比较,若做长期投资,应选哪种方案? 答案:方案一所对应的函数为y=20x,方案二所对应的函数为y=1.5×2x-1;若做长期投资选择的方案应是回报资金增长快的方案.可作出两函数的图像,借助图像发现,函数y=1.5×2x-1比函数y=20x增长快,应选择方案二. 数学 知识探究 1.实际问题的函数刻画 在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,许多联系可以用函数刻画.用 的观点看实际问题,是学习函数的重要内容. 2.用函数模型解决实际问题 函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的 把握问题,使问题得到解决. 通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表达式,求出具体的函数表达式,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合.在自然科学和社会科学中,很多规律、定律都是先通过实验,得到数据,再通过数据拟合得到的. 函数 性质 数学 3.函数建模 (1)定义:用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模. (2)过程:如图. 数学 拓展提升:常见的几类函数模型 数学 题型一 课堂探究·素养提升 分段函数模型 (1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示); 数学 (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) ②当x>400时,f(x)=-100x+60 000为减函数, 所以f(x)<-100×400+60 000=20 000<25 000. 所以当月产量为300台时,利润最大,最大利润为25 000元. 数学 易错警示 由于分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值,做到分段合理,不漏不重. 数学 (1)试写出该种商品的日销售额y=g(t)·f(t)与时间t(0≤t≤20)的函数解析式; 数学 (2)求该种商品的日销售额y的最大值. 解:(2)由(1)知, ①当0≤t≤10时,y=-t2+10t+1 200=-(t-5)2+1 225 在[0,5]上单调递增,在[5,10]上单调递减. 所以ymax=1 225(当t=5时取得). ②当10<t≤20时,y=t2-90t+2 000=(t-45)2-25在(10,20]上单调递减,所以ymax<1 200. 由①②知ymax=1 225. 所以该种商品的日销售额y的最大值为1 225元. 数学 题型二 指数、对数函数模型 (1)求p%的值; 数学 (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 数学 (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位; (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少? 数学 题型三 建立拟合函数模型解决实际问题 [例3] 某地区不同身高(单位:cm)的未成年男性的体重(单位:kg)平均值如表: 身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式; 数学 (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175 cm,体重为78 kg的在校男生的体重是否正常? 解:(2)将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175, 由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2, 所以这个男生偏胖. 数学 方法技巧 函数拟合与预测的一般步骤 (1)根据原始数据、表格,绘出散点图; (2)通过考查散点图,画出拟合直线或拟合曲线; (3)求出拟合