1.3.2　奇偶性（课时作业）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

第二课时　函数奇偶性的应用(习题课) 选题明细表 知识点、方法 题号 利用奇偶性求函数值 3,13 利用奇偶性求解析式 8 抽象函数的奇偶性 9,11 奇偶性与单调性的综合应用 1,2,4,5,6,7,10,12 基础巩固 1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的为(　C　) (A)y= (B)y=x2+1 (C)y= (D)y=x 解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+∞)上单调递增.故选C. 2.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,则下列关系成立的是(　B　) (A)f(-3)>f(0)>f(1) (B)f(-3)>f(1)>f(0) (C)f(1)>f(0)>f(-3) (D)f(1)>f(-3)>f(0) 解析:因为f(-3)=f(3),且f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,所以f(-3)>f(1)>f(0).故选B. 3.f(x)是定义域为R的奇函数,且x>0时,f(x)=x2-3x+6,f(-2)+f(0)等于(　B　) (A)4 (B)-4 (C)10 (D)-10 解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0. 又f(-2)=-f(2)=-(4-6+6)=-4, 故f(-2)+f(0)=-4.故选B. 4.(2021·河南月考)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1, x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则f(-2),f(e),f(-3)的大小关系为(　D　) (A)f(e)<f(-3)<f(-2) (B)f(-2)<f(e)<f(-3) (C)f(-3)<f(-2)<f(e) (D)f(-3)<f(e)<f(-2) 解析:因为对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0, 所以f(x)在[0,+∞)上是减函数. 又f(x)是偶函数, 所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2). 因为2<e<3, 所以f(2)>f(e)>f(3),即f(-2)>f(e)>f(-3).故选D. 5.已知f(x)是R上的偶函数,且x≥0时,f(x)=x2+5x+3,则满足f(x)<f(3)的x的取值范围是(　B　) (A)(-∞,3)∪(3,+∞) (B)(-3,3) (C)(0,3) (D)(-3,0) 解析:由x≥0时,f(x)=x2+5x+3=(x+)2+3-知,函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,又函数f(x)是偶函数,故f(x)<f(3)可化为f(|x|)<f(3),即|x|<3.解得-3<x<3.故选B. 6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-1)=0,若对任意的x1,x2∈(-∞,0)且x1≠x2,都有<0成立,则不等式f(x)<0的解集为(　C　) (A)(-∞,-1)∪(1,+∞) (B)(-1,0)∪(0,1) (C)(-∞,-1)∪(0,1) (D)(-1,0)∪(1,+∞) 解析:令F(x)=xf(x),因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以F(-x)=-xf(-x)=xf(x)=F(x),所以F(x)是偶函数. 因为f(-1)=0,所以F(-1)=0,则F(1)=0.因为对任意的x1,x2∈(-∞,0)且x1≠x2时, 都有<0,即<0, 所以F(x)在(-∞,0)上单调递减,所以F(x)在(0,+∞)上单调递增, f(x)<0等价于或解得0<x<1或x<-1, 所以不等式f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选C. 7.(2021·浙江开学考试)已知函数f(x)=x|x|,则不等式f(2x-1)≥9的解集是　　　　. 解析:f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,x≥0时, f(x)=x2,为增函数,所以x≤0时,f(x)也是增函数,从而在R上f(x)为增函数,f(2x-1)≥9=f(3),所以2x-1≥3,即x≥2. 答案:[2,+∞) 8.若函数f(x)是偶函数,g(x)是奇函数(f(x),g(x)的定义域相同),且f(x)+g(x)=,则f(x)=　　　　　. 解析:因为f(x)+g(x)=,① 以-x代替x,得f(-x)+g(-x)=. 又函数f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,二者定义域相同, 所以f(x)-g(x)=-.② 由①+②,得2f(x)=-=. 所以f(x)=. 答案: 9.已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+ f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),求证:f(x)为偶函数. 证明:令x1=0,x2=x, 得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).