1.1.2　集合间的基本关系（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.1.2　集合间的基本关系 数学 [目标导航] 课标要求 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别、表达集合之间的关系. 2.能用符号、图形等表达集合之间的关系. 3.在具体情境中,了解空集的含义并会应用. 素养达成 通过子集、真子集及相等关系的学习,培养学生运用数学语言进行交流的能力,运用直观图示理解抽象概念的数形结合能力. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 1.Venn图 在数学中,经常用平面上 曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. 思考1:表示集合的Venn图一定是圆或椭圆吗? 答案:不一定.由于Venn图的边界是封闭的曲线,因此画Venn图时,只要是封闭的图形即可,如椭圆、圆、矩形、正方形等. 2.子集 封闭 文字语言 符号语言 图形语言 对于两个集合A,B,如果集合A中 元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有 关系,称集合A为集合B的子集 对任意元素x∈A,必有x∈B,则A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”或“B包含A” 任意一个 包含 数学 思考2:符号“∈”与“⊆”有何区别? 答案:“⊆”只用于集合与集合之间,如{0}⊆N,而不能写成{0}∈N.“∈”只能用于元素与集合之间,如0∈N,而不能写成0⊆N. 思考3:集合的子集有哪些性质? 答案:(1)由子集的定义可知任意一个集合A都是它本身的子集,即A⊆A. (3)子集具有传递性:如果A⊆B且B⊆C,那么A⊆C. 数学 3.集合相等 如果集合A是集合B的 (A⊆B),且集合B是集合A的 (B⊆A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B. 思考4:如何证明两个集合相等? 答案:要证明集合A与集合B相等,只需证明A⊆B且B⊆A. 子集 4.真子集 文字语言 符号语言 图形语言 如果集合A是集合B的子集,且在集合B中 元素不是集合A的元素,我们称集合A是集合B的真子集 若集合A⊆B,但存在x∈B,且x∉A,则A⫋B(或B⫌A)(读作“A真包含于B”或“B真包含A”) 子集 至少存在一个 数学 思考5:由子集定义可知,任何一个集合是它本身的子集,那么任何一个集合是它本身的真子集吗? 答案:任何一个集合都不是它本身的真子集. 5.空集 (1)定义:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作 . 子集 思考6:空集有子集吗?是否有真子集? 答案:由于任何一个集合是它本身的子集,因此空集有子集,且只有一个就是其本身,空集没有真子集. 非空集合 数学 名师点津 数学 (2)集合关系与其特征性质之间的关系 可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系,也可以通过判断两个集合特征性质之间的关系来判断集合之间的关系. 数学 一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)}. ①如果A⊆B,则x∈A⇒x∈B.于是x具有性质p(x)⇒x具有性质q(x),即p(x)⇒q(x).反之,如果p(x)⇒q(x),则A一定是B的子集. ②如果p(x)⇒q(x)和q(x)⇒p(x)都成立,可记为 p(x)⇔q(x).如果p(x)⇔q(x),则A=B;反之,如果A=B,则p(x)⇔q(x). 上述关系用表格表示如下: 集合之间的关系 特征性质之间的关系 A⊆B p(x)⇒q(x) A⫋B p(x)⇒q(x),但q(x) p(x) A=B p(x)⇔q(x) 数学 例如:A={x|x是6的约数},B={x|x是36的约数}. 由于集合A的特征性质p(x):x是6的约数,集合B的特征性质q(x):x是36的约数,且p(x)⇒q(x),但 q(x) p(x),故A⫋B. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 给定集合的子集确定 [例1] 已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5},写出集合M所有可能情况. 解:因为{1,2}⊆M,所以1∈M,2∈M, 又因为M⊆{1,2,3,4,5}, 所以M是含有1,2的{1,2,3,4,5}的子集, 故M的所有可能情况是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4}, {1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个. 数学 解:法一　由题意可知集合M必定含有元素1,2且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M所含元素个数分类如下.含有3个元素: {1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}共3个.含有4个元素:{1,2,3,4}, {1,2,3,5},{1,2,4,5},共3个.含有5个元素:{1,2,3,4,5},共3+3+1= 7(个). 法二　依题意,集合M的个数为{3,4,5}的非空