1.2.2　函数的表示法（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

第二课时　分段函数与映射 数学 [目标导航] 课标要求 1.通过具体的实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 2.了解映射的概念,理解映射与函数的区别. 素养达成 1.通过分段函数的学习,培养学生数学建模与数学运算的核心素养. 2.通过映射的学习,培养学生逻辑推理与数学运算的核心素养. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 1.分段函数 如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数. 思考1:怎样求分段函数的定义域、值域? 答案:分段函数的定义域是各段定义域的并集,分段函数的值域是各段值域的并集. 数学 2.映射 设A,B是 的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的 元素x,在集合B中都有 的元素y与之对应,那么就称对应 为从集合A到集合B的一个映射. 非空 任意一个 唯一确定 f:A→B 数学 思考2:函数与映射的关系是什么? 答案:函数是一类特殊的映射,若构成映射的两个集合是非空的数集,则该映射一定是函数. 思考3:若映射f:A→B,集合A中元素在对应法则f下的元素构成集合C,则B与C相等吗? 答案:B与C不一定相等,它们之间的关系是C⊆B. 数学 名师点津 (1)关于分段函数的理解 ①分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先要确定自变量的数值属于哪一个范围,从而选择相应的对应关系. ②写分段函数的定义域时,要注意区间端点值的取舍,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,各段定义域的交集是空集. (2)关于映射的理解 ①映射f:A→B中,A,B必须是非空的集合(函数f:A→B需要A,B是非空 数集). 数学 ②映射f:A→B具有以下特征:a.集合A中的元素在对应关系f作用下,在集合B中有唯一的元素与之对应;b.不要求集合B中的元素都被集合A中元素对应;c.在映射中,f具有方向性,从集合A到集合B的对应关系与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的;d.映射允许集合A中有不同的元素在集合B中有相同的对应元素,即映射只能是“多对一”或“一对一”,不能是“一对多”. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 分段函数求值 数学 数学 (2)若f(a)=3,求实数a的值. 解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去. 当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3. 因为1∈(-2,2),-3∉(-2,2),所以a=1,符合题意. 当a≥2时,2a-1=3,即a=2,符合题意. 综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2. 数学 方法技巧 (1)分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪一段,代入该段解析式求解即可. (2)已知函数值求自变量的值时,应分别代入各段解析式中求解,以免丢解.要根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍. (3)已知f(x)解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求 并集. (4)求解形如f(f(a))的函数值问题,按从里到外的原则,先求f(a),再求f(f(a)). 数学 (1)求f(f(f(-2)))的值; 数学 数学 解析:(1)因为g(π)=0, 所以f(g(π))=f(0)=0.故选B. 数学 数学 题型二 分段函数的图象 [例2] 作出下列函数的图象,并写出函数的值域. (1)y=|x+2|+|x-3|; 数学 解:(2)函数f(x)的图象如图实线部分所示. 由图可知函数值域为[0,4]. 数学 方法技巧 (1)分段函数的图象应分段,根据各段的解析式作出. 作分段函数的图象时,定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接,特别注意端点处是实心点还是空心点. (2)由绝对值的几何意义知,|x|表示数轴上的点到原点的距离,当x≥0时,|x|=x,当x<0时,|x|=-x.因此涉及与绝对值有关的函数问题,应先根据绝对值的定义去掉绝对值号,将问题转化为分段函数求解. 数学 答案:(1)C 数学 (2)已知函数f(x)在[-1,2]上的图象如图所示,则f(x)的解析式为　　 . 数学 [备用例2] (1)如图是函数f(x)的图象,OC段是射线,而OBA是抛物线的一部分,试写出函数f(x)的解析式; 数学 ②函数f(x)的图象如图所示. ③由②知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). 数学 题型三 分段函数的实际应用 [例3] (12分)某市出租车的现行计价标准是路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取,超过2 km后的路程按1.9元/ km收取,但超过10