1.3.1　单调性与最大(小)值（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

第二课时　函数的最大(小)值 数学 [目标导航] 课标要求 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的最大值或最小值. 3.体会数形结合思想、分类讨论思想在求函数最值问题中的应用. 素养达成 通过利用函数的单调性求函数最值,培养学生逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养;通过数形结合求函数最值,培养学生直观想象的核心素养. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 1.最大值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x) M; ②存在x0∈I,使得 . 那么,称M是函数y=f(x)的最大值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最 点的 坐标. 思考1:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗? 答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是. ≤ f(x0)=M 高 纵 数学 2.最小值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x) M; ②存在x0∈I,使得 . 那么,称M是函数y=f(x)的最小值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最 点的 坐标. 思考2:已知函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调,如何求函数的最值? 答案:如果函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则 f(x)max=f(b), f(x)min=f(a);如果函数y=f(x)在定义域[a,b]上单调递减,则f(x)max= f(a),f(x)min=f(b). ≥ f(x0)=M 低 纵 数学 思考3:函数的最大(小)值与函数值域有什么关系? 答案:(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质,针对的是整个定义域. (2)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在. (3)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素. 数学 名师点津 关于函数最值的说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y= x2(x∈R)的最小值是0,有f(0)=0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立,也就是说,函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方. (3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 单调性法求函数最值 数学 (2)求函数f(x)在[1,4]上的最值. 数学 方法技巧 利用函数单调性求最值的步骤:①确定函数的单调性;②借助最值与单调性的关系写出函数的最值. 数学 数学 (1)证明:设x1和x2是任意的两个实数,且x1<x2,则x2-x1>0,因为x>0时, f(x)<0,所以f(x2-x1)<0, 又因为x2=(x2-x1)+x1, 所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1), 所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0, 所以f(x2)<f(x1). 所以f(x)是R上的单调减函数. 数学 (2)求f(x)在[-3,3]上的最小值. 数学 题型二 分段函数的最值 解:作出函数f(x)的图象(如图). 由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1. 当x=0时, f(x)取最小值f(0)=0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0. 数学 方法技巧 (1)分段函数的最大(小)值是各段函数在其定义域上的最大(小)值中较大(小)的一个. (2)分段函数的最值问题,若函数在各段上均为单调函数,可根据函数单调性确定最值.若函数在各段上不具有单调性,可借助函数图象求最值. 数学 答案:(1)B 数学 (2)函数f(x)=|x-2|-2在区间[0,3]上的最小值为　　 　　,最大值为　　　　.  答案:(2)-2　0 数学 题型三 二次函数的最值 解:因为f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 所以函数f(x)在(-∞,2]上是减函数, 在[2,+∞)上是增函数. (1)因为x∈[-1,1], 所以f(x)在[-1,1]上是减函数, 又f(-1)=8,f(1)=0, 所以函数f(x)在[-1,1]上的值域为[0,8]. [例3] 已知f(x)=x2-4x+3,求函数f(x)在下列区间上的值域. (1)[-1,1]; 数学 (2)[-2,3];(3)[0,a]. 解:(2)因为x∈[-2,3],且f(x)图象的对称轴方程是x=2, 所以当