1.3.2　奇偶性（课件）-2021-2022学年高中数学必修1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

第二课时　函数奇偶性的应用(习题课) 数学 [目标导航] 课标要求 1.能够根据函数的奇偶性求函数值或解析式. 2.能够利用函数的奇偶性与单调性,解决较简单的问题. 素养达成 1.通过运用函数的奇偶性求函数值或解析式,培养数学运算的核心素养. 2.通过奇偶函数的图象性质在解题中的应用,培养直观想象的核心素养. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 利用奇偶性求函数值 [例1] 设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常 数),则f(-1)等于(　　) (A)3 (B)1 (C)-1 (D)-3 解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数, 所以f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1, 所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1. 因为f(x)为定义在R上的奇函数, 所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.故选D. 数学 方法技巧 本题中当x≥0时,函数解析式含参数b,因此需利用奇函数在原点处有定义,则f(0)=0的性质,求出b的值,然后根据奇函数性质求f(-1)的值. 数学 答案:f(1)>g(0)>g(-1) 数学 解析:因为g(-3)=f(-3)=-f(3)=-6, 所以f(g(-3))=f(-6)=-f(6)=-33. 答案:-33 数学 题型二 利用奇偶性求函数f(x)的解析式 [例2] (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=x2+x+1,求x<0时函数f(x)的解析式; 解:(1)设x<0,则-x>0, 所以f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1. 又因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 即-f(x)=x2-x+1, 因此f(x)=-x2+x-1. 所以x<0时函数的解析式为f(x)=-x2+x-1. 数学 (2)已知f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=x3+2x-3,求f(x)在x<0时的解 析式. 解:(2)因为f(x)是偶函数, 所以f(-x)=f(x). 令x<0,则-x>0. 所以f(-x)=(-x)3+2(-x)-3=-x3-2x-3, 所以f(x)=-x3-2x-3. 所以x<0时函数的解析式为f(x)=-x3-2x-3. 数学 一题多变:(1)本例(1)中改为求x∈R时函数f(x)的解析式; 数学 (2)本例(1)改为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且x≥0时,f(x)=x2+x+a-1,求x<0时函数f(x)的解析式. 解:(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数且x≥0时,f(x)=x2+x+a-1, 所以f(0)=0,所以a=1. 所以x≥0时,f(x)=x2+x. 设x<0,则-x>0. 所以f(-x)=x2-x. 又f(x)为奇函数, 所以f(-x)=-f(x). 所以f(x)=x-x2. 所以x<0时函数的解析式为f(x)=x-x2. 数学 方法技巧 利用函数奇偶性求解析式时的注意事项 (1)求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上取x. (2)然后要利用已知区间的解析式写出f(-x). (3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x). (4)要注意R上的奇函数定有f(0)=0. (5)若是求整个定义域内的解析式,各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式,此点易忽略. 数学 (A)-2x3-x2 (B)-2x3+x2 (C)2x3-x2 (D)2x3+x2 解析:当x>0时,-x<0,则f(-x)=2(-x)3-(-x)2=-2x3-x2, 由于函数f(x)是奇函数,满足f(x)=-f(-x), 故x>0时,f(x)=-f(-x)=2x3+x2, 即g(x)=2x3+x2. 故选D. 数学 题型三 函数的奇偶性与单调性的综合 [例3] (12分)已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,若f(1-2x)+f(3-x)<0,求x的取值范围. 数学 一题多变:本例改为f(x)是定义在(-3,3)上的偶函数,且在(0,3)上是增函数.若f(1-2x)<f(x-3),求x的取值范围. 数学 方法技巧 (1)充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再利用单调性脱掉“f ”求解. (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的 影响. (3)涉及偶函数时,可利用f(-x)=f(x)=f(|x|),将问题转化为函数在[0,+∞)上的单调性求解. 数学 [备用例3] 已知定义在[-2,2]上的函数f(x)是偶函数,在[0,2]上单调递增,则满足不等式f(2a-1)>f(1)的a的取值范围