第6讲 导数的应用之单调性、极值和最值-2022届新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳面面全

第6讲 导数的应用之单调性、极值和最值 1．函数单调性与导函数符号的关系 一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间 内，如果 ，那么函数 在该区间内单调递增；如果 ，那么函数 在该区间内单调递减. 2．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数 的定义域； （2）求 ，令 ，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数 的间断点（即 的无定义点）的横坐标和 的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义域分成若干个小区间； （4）确定 在各小区间内的符号，根据 的符号判断函数 在每个相应小区间内的增减性. 注①使 的离散点不影响函数的单调性，即当 在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时， 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在 上， ，当 时， ；当 时， ，而显然 在 上是单调递增函数. ②若函数 在区间 上单调递增，则 （ 不恒为0），反之不成立.因为 ，即 或 ，当 时，函数 在区间 上单调递增.当 时， 在这个区间为常值函数；同理，若函数 在区间 上单调递减，则 （ 不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： EMBED Equation.DSMT4 单调递增； 单调递增 ； EMBED Equation.DSMT4 单调递减； 单调递减 . 3．函数极值的概念 设函数 在点 处连续且 ，若在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为函数的极大值点；若在 附近的左侧 ，右侧 ，则 为函数的极小值点. 函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 4．求可导函数 极值的一般步骤 （1）先确定函数 的定义域； （2）求导数 ； （3）求方程 的根； （4）检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数 在这个根处取得极小值. 注①可导函数 在点 处取得极值的充要条件是： 是导函数的变号零点，即 ，且在 左侧与右侧， 的符号导号. ② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数 ，在极小值点 是不可导的，于是有如下结论： 为可导函数 的极值点 ； 但 为 的极值点. 5．函数的最大值、最小值 若函数 在闭区间 上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 6．求函数的最大值、最小值的一般步骤 设 是定义在区间 上的函数， 在 可导，求函数 在 上的最大值与最小值，可分两步进行： （1）求函数 在 内的极值； （2）将函数 的各极值与端点处的函数值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 1．已知 是函数 的极值点，若 ， ，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 2．已知 ，且关于 的函数 在 上有极值，则 与 的夹角范围为（ ） A. B. C. D. 3．在 中， 分别为 所对的边，若函数 有极值点，则 的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. -1 4．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx， ，则f(x)(　　) A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值，又有极小值 D. 既无极大值，又无极小值 5．设 ，若函数 有大于零的极值点，则（ ） A. B. C. D. 6．6．已知函数恰有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7．若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ） A. B. C. D. 1 8．已知 、 、 、 ，从这四个数中任取一个数 使函数 有极值点的概率为（ ） A. B. C. D. 1 9．设函数 在 处取得极值，则 的值为（ ） A. 1 B. C.