2.1 椭圆（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

2.1　椭圆 2.1.1　椭圆及其标准方程 选题明细表 知识点、方法 题号 椭圆定义的理解与应用 1,2,4,7,8,12 求椭圆的标准方程 6,11 与焦点有关的三角形问题 3,5,9,10 基础巩固 1.若椭圆5x2+ky2=5的一个焦点坐标是(0,2),则实数k等于(　B　) (A)5 (B)1 (C) (D)25 解析:由5x2+ky2=5得x2+=1,因为椭圆的一个焦点坐标是(0,2),在y轴上,故-1=22,解得k=1.故选B. 2.椭圆的两个焦点分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为(　C　) (A)+=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1 解析:由题意知c=8,2a=20,所以a=10, 所以b2=a2-c2=36, 故椭圆的标准方程为+=1.故选C. 3.设P是椭圆+=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是(　B　) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形 解析:由椭圆定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8. 不妨设|PF1|-|PF2|=2, 所以|PF1|=5,|PF2|=3. 又|F1F2|=2c=2=4, 故|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2, 所以△PF1F2为直角三角形.故选B. 4.已知椭圆+=1,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于(　C　) (A)5 (B)6 (C)9 (D)10 解析:将椭圆的方程化为标准形式为+=1,显然m-3> 11-m>0,即7<m<11.又焦距为4,则(m-3)-(11-m)=4,解得m=9.故选C. 5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:由·=0,得MF1⊥MF2,可设||=m,||=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2, 所以=mn=1. 设点M到x轴的距离为h,则|F1F2|·h=1, 又|F1F2|=2,故h=.故选C. 6.已知椭圆的两焦点为F1(-2,0),F2(2,0),P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则该椭圆的方程是　　　　　.  解析:由题意知椭圆焦点在x轴上,c=2,|F1F2|=4, 由于|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, 所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8, 所以a=4,b2=a2-c2=42-22=12, 故椭圆的方程为+=1. 答案:+=1 7.椭圆+=1的焦距为2,则m的值为　　　　.  解析:椭圆+=1的焦距为2,即2c=2, 得c=. 依题意当焦点在x轴上时,则16-m=7,解得m=9; 当焦点在y轴上时,则m-16=7,解得m=23, 所以m的值为9或23. 答案:9或23 能力提升 8.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是(　C　) (A)[1,4] (B)[2,6] (C)[3,5] (D)[3,6] 解析:根据题意,|AB|=2,|PA|+|PB|=8>2,所以动点P的轨迹是以A,B为焦点,以8为长轴长的椭圆,所以a=4,c=1.因为点P为椭圆的长轴端点时,|PA|分别取得最大值、最小值,所以|PA|≥a-c=3,|PA|≤a+ c=5,所以|PA|的取值范围是 [3,5],故选C. 9.F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为(　C　) (A)7 (B) (C) (D) 解析:由已知得a=3,c=. 设|AF1|=m,则|AF2|=6-m, 所以(6-m)2=m2+(2)2-2m·2cos 45°, 解得m=. 所以=××2sin 45°=.故选C. 10.椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆上的点M满足∠F1MF2=且·=-2,则b=　　 　　.  解析:因为∠F1MF2=且·=-2, 所以|MF1||MF2|=4. 由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a, 故|MF1|2+|MF2|2+2|MF1||MF2|=4a2, 所以在△F1MF2中,由余弦定理得cos∠F1MF2==-, 代入数据得-==,解得b=1. 答案:1 11.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰好为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且 AB∥OP,|F1A|=+,求此椭圆的方程. 解:由