2.3 抛物线（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

2.3　抛物线 2.3.1　抛物线及其标准方程 选题明细表 知识点、方法 题号 求抛物线的标准方程 1,2,4 焦点、准线 3,6 抛物线定义的应用 5,8,9 抛物线的实际应用 11 综合应用 7,10,12 基础巩固 1.已知点F是抛物线x2=2py(p>0)的焦点,点M(x0,1)在抛物线上,若|FM|=,则该抛物线的方程为(　A　) (A)x2=2y (B)x2=y (C)x2=y (D)x2=y 解析:由抛物线的定义知,|FM|=1-(-)=,解得p=1,所以抛物线方程为x2=2y.故选A. 2.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x+4=0的距离,则M点的轨迹方程是(　D　) (A)x+4=0 (B)x-4=0 (C)y2=8x (D)y2=16x 解析:根据抛物线定义可知,M点的轨迹是以F为焦点,以直线x=-4为准线的抛物线,p=8, 所以其轨迹方程为y2=16x.故选D. 3.若直线l过抛物线y2=8x的焦点,与抛物线相交于A,B两点,且|AB|=16,则线段AB的中点P到y轴的距离为(　A　) (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 解析:由题意,抛物线的准线方程为x=-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以|AB|=x1+x2+4=16,即x1+x2=12,所以点P的横坐标为=6,所以点P到y轴的距离为6.故选A. 4.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　C　) (A)x2=±3y (B)y2=±6x (C)x2=±12y (D)x2=±6y 解析:因为顶点与焦点的距离等于3,所以2p=12, 又因为对称轴是y轴, 所以抛物线的标准方程为x2=±12y.故选C. 5.抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点有(　C　) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)4个 解析:依题意抛物线y2=8x,2p=8,=2,准线方程为x=-2,结合抛物线的定义可知,抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点的横坐标为5-2=3,将x=3代入y2=8x,得y2=24,解得y=±2,所以抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点有2个.故选C. 6.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为　　　 　.  解析:依题意得,直线x=-与圆(x-3)2+y2=16相切,因此圆心(3,0)到直线x=-的距离等于半径4,于是有3+=4,即p=2. 答案:2 7.已知M是抛物线y2=4x上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x-6)2+ (y+1)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是　　　　.  解析:M是抛物线y2=4x上一点,抛物线的准线方程为x=-1,如图,过点M作MN垂直于准线于N,则|MN|=|MF|,所以|MA|+|MF|=|MA|+|MN|.因为点A在圆C上,圆C:(x-6)2+(y+1)2=1的圆心为C(6,-1),半径为1, 所以当M,N,C三点共线时,|MA|+|MN|取得最小值6,即|MA|+|MF|取得最小值6. 答案:6 能力提升 8.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于(　B　) (A)2 (B)2 (C)4 (D)2 解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0), 则焦点坐标为(,0), 准线方程为x=-, 因为M在抛物线上,所以M到焦点的距离等于M到准线的距离,即2+=3,p=2,抛物线方程为y2=4x, 因为M(2,y0)在抛物线上,所以=8, 所以|OM|===2.故选B. 9.抛物线y2=4x的焦点为F,点A(2,1),M为抛物线上一点,且M不在直线AF上,则△MAF周长的最小值为　　 　　.  解析:求△MAF周长的最小值,即求|MA|+|MF|的最小值,设点M在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义,可知|MF|=|MD|,因此,|MA|+|MF|的最小值,即|MA|+|MD|的最小值. 根据平面几何知识,可得当D,M,A三点共线时,|MA|+|MD|最小,因此最小值为xA-(-1)=2+1=3, 因为|AF|==, 所以△MAF周长的最小值为3+. 答案:3+ 10.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB的面积等于时,求k的值. (1)证明:设A(-,y1),B(-,y2). 则y1=k(-+1),y2=k(-+1), 消去k得y1(1-)=y2(1-). 所以y2-y1=y1y2(y1-y2), 又y1≠y2,所以y1y2=-1, 所以·=y1y2+=y1y2(1+y1y2)=0, 所以OA⊥O