1.4 全称量词与存在量词（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

1.4　全称量词与存在量词 1.4.1　全称量词 1.4.2　存在量词 数学 [目标导航] 课标要求 1.理解全称量词与存在量词的意义. 2.掌握全称命题与特称命题的真假判断. 素养达成 通过全称量词与存在量词的学习,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力,培养学生抽象概括能力和思维能力. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 1.全称量词和全称命题 (1)全称量词:短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做 ,并用符号“ ”表示. (2)全称命题:含有全称量词的命题,叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为 ,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. 思考1:全称命题中的“x,M与p(x)”表达的含义分别是什么? 答案:x表示变量,M表示变量x的取值范围,p(x)表示集合M的所有元素满足的性质. 全称量词 ∀ ∀x∈M,p(x) 数学 2.存在量词与特称命题 (1)存在量词 :短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ,并用符号“ ”表示. (2)特称命题:含有存在量词的命题,叫做 .特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为 ,读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”. 思考2:如何判断全称命题和特称命题的真假? 答案:(1)要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能找到集合M中的一个元素x0,使p(x0)不成立即可. (2)要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;否则为假. 存在量词 ∃ 特称命题 ∃x0∈M,p(x0) 数学 题型一 课堂探究·素养提升 全称命题与特称命题的判定 [例1] 判断下列语句是全称命题,还是特称命题. (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)有的向量方向不定; (3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1; 解:(1)所有的凸多边形的外角和等于360°,是全称命题. (2)有的向量方向不定,含有存在量词,是特称命题. (3)含有全称量词“任意”,是全称命题. 数学 (4)矩形的对角线不相等; (5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直. 解:(4)所有矩形的对角线不相等,是全称命题. (5)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,是全称命题.  数学 方法技巧 判定命题是全称命题还是特称命题,主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意的是有些全称命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断. 数学 即时训练1-1:下列命题中,是全称命题的是　　 　　,是特称命题的是　 　　　.(填序号)  ①正方形的四条边相等; ②有两个角相等的三角形是等腰三角形; ③正数的平方根不等于0; ④至少有一个正整数是偶数. 解析:①可表述为“每一个正方形的四条边相等”,是全称命题;②是全称命题,即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的平方根不等于0”,是全称命题;④是特称命题. 答案:①②③　④ 数学 [备用例1] 将下列命题用“∀”或“∃”表示. (1)实数的平方是非负数; (2)方程ax2+2x+1=0(a<0)至少存在一个负根; (3)若直线l垂直于平面α内任一直线,则l⊥α. 解:(1)∀x∈R,x2≥0. (3)若∀a⊂α,l⊥a,则l⊥α. 数学 题型二 全称命题与特称命题的真假判断 [例2] 指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x+1是奇数; 解:(1)是全称命题,因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题. (3)能被5整除的整数末位数是0; (4)有一个角α,使sin α>1. (3)是全称命题.因为25能被5整除,但末位数不是0,因此该命题是假 命题. (4)是特称命题,因为∀α∈R,sin α∈[-1,1],所以该命题是假命题. 数学 方法技巧 全称命题与特称命题真假的判断方法 (1)要判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题. (2)要判定特称命题“∃x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存 在,那么这个特称命题就是假命题. 数学 即时训练2-1:下列命题中,为假命题的是(　　)