2.2 双曲线（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

2.2　双曲线 2.2.1　双曲线及其标准方程 数学 [目标导航] 课标要求 1.了解双曲线的定义及其焦距的概念. 2.了解双曲线的几何图形、标准方程. 素养达成 通过对双曲线及其标准方程的学习,渗透数形结合与类比的思想,提高学生分析问题和解决问题的综合能力. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做双曲线的 ,两焦点间的距离叫做双曲线的 . 差的绝对值 双曲线 焦点 焦距 数学 2.双曲线的标准方程 (-c,0) (c,0) (0,-c) (0,c) 2c a2+b2 数学 思考:(1)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数,若没有绝对值,则动点的轨迹是什么? 答案:双曲线的一支. (2)在双曲线的定义中,必须要求“非零常数小于|F1F2|”,那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时,动点的轨迹是什么? 答案:①如果定义中常数等于|F1F2|,此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点). ②如果定义中常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在. ③如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 答案:当m=n>0时表示圆;当m>n>0或n>m>0时表示椭圆;当mn<0时表示双 曲线. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 求双曲线的标准方程 [例1] 根据下列条件,求双曲线的标准方程. 数学 数学 数学 数学 方法技巧 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.注意到双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程. 数学 数学 题型二 双曲线定义的应用 数学 方法技巧 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍 去,且所求距离应该不小于c-a). (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用. 数学 数学 数学 题型三 利用双曲线的定义求轨迹方程 数学 数学 方法技巧 (1)利用双曲线的定义求轨迹方程,常见的方法有两种:①列出等量关系,化简得到方程;②寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程. (2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:①双曲线的焦点所在的坐标 轴;②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支. 数学 即时训练3-1:如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 数学 经验分享区 求双曲线标准方程的方法 (1)如果已知双曲线的中心在原点,且确定了焦点在x轴上或是y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a2, b2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个,也有可能是两个,注意合理取舍,但不要漏解). (2)当焦点位置不确定时,有两种方法解决: 一种是分类讨论,注意考虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以设双曲线的一般方程mx2+ny2=1(mn<0). 数学 课堂达标 C 解析:由题意知2c=8,c=4,a2=m,b2=1, 因为c2=a2+b2, 所以16=m+1, 解得m=15.故选C. 数学 B 数学 C 数学 4.已知动圆M过定点B(-4,0),且和定圆(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　 　) C 数学 点击进入 课时作业 数学 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 焦点 F1 , F2 F1 , F2 焦距 |F1F2|= a,b,c的关系 c2= (3)方程+=1表示哪种曲线呢? (1)a=4,经过点A(1,-); 解:(1)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为-=1(