2.3 抛物线（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

2.3　抛物线 2.3.1　抛物线及其标准方程 数学 [目标导航] 课标要求 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线的方程. 素养达成 通过对抛物线及其标准方程的学习,进一步理解求曲线的方法——坐标法,提高学生观察、类比、分析和计算的能力. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 . 思考1:在抛物线定义中,若去掉条件“l不经过点F”,点的轨迹还是抛物线吗? 答案:不一定是抛物线.当直线l经过点F时,点的轨迹是过点F且垂直于定直线的一条直线;当l不过定点F时,点的轨迹是抛物线. 距离相等 焦点 准线 数学 y2=2px(p>0) 2.抛物线的标准方程 y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 数学 思考2:(1)抛物线的标准方程y2=2px(或x2=2py)(p>0)中p的几何意义是 什么? 答案:焦点到准线的距离. (2)抛物线的开口方向与哪些量有关系? 答案:抛物线的开口方向与一次项及其系数的正负有关系. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 求抛物线的标准方程 [例1]根据下列条件分别求出抛物线的标准方程. (2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5; (2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0), 由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y. 数学 (3)经过点(-3,-1); 数学 (4)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 数学 方法技巧 求抛物线方程,通常用待定系数法,若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0). 数学 即时训练1-1:根据下列条件确定抛物线的标准方程. (1)关于y轴对称且过点(-1,-3); 数学 (2)过点(4,-8); 解:(2)法一　设所求抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p′y(p′>0), 将点(4,-8)代入y2=2px,得p=8;将点(4,-8)代入x2=-2p′y,得p′=1. 故所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y. 法二　当焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=nx(n≠0), 又抛物线过点(4,-8),所以64=4n,即n=16,故抛物线的方程为y2=16x; 当焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=my(m≠0), 又抛物线过点(4,-8),所以16=-8m,即m=-2, 故抛物线的方程为x2=-2y. 综上,抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-2y. 数学 (3)焦点在x-2y-4=0上. 数学 [备用例1] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(3,-4); 数学 数学 (2)焦点在直线x+3y+15=0上. 解:(2)对于直线方程x+3y+15=0, 令x=0得y=-5;令y=0得x=-15. 所以抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). 故所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x. 数学 题型二 抛物线定义及其应用 [例2] (1)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点 M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程; 数学 (2)已知抛物线y2=4x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,对于定点A(4,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的P点坐标; 解:(2)如图,作PN⊥l于N(l:x=-1为准线),作AB⊥l于B, 则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|, 当且仅当P为AB与抛物线的交点时,取等号. 所以(|PA|+|PF|)min=|AB|=4+1=5. 此时yP=2,代入抛物线得xP=1, 所以P(1,2). 数学 (3)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 解:(3)设动圆圆心为M(x,y),半径为r, 则由题意可得M到圆心C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等. 由抛物线的定义可知,动圆圆心M的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y. 数学 方法技巧 抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直