(普查练习)第42课 抛物线-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第42课 抛物线 普查与练习42 Ⅰ　　　　抛物线的定义、标准方程及几何性质 1．抛物线定义的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)(2023汇编，25分)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，M是C上一点． ①设直线FM交y轴于点P.若M为FP的中点，则|FP|＝__3__． ②设点M在第一象限，以F为圆心，FM为半径的圆交抛物线的准线于A，B两点．若A，F，M三点共线，则|MF|＝__4__． ③若|MF|＝6，则点M的横坐标是__5__；作MN⊥x轴于点N，则△MNF的面积为 __4__．(2021北京) ④过点M作直线x＝－2的垂线，垂足为H，若T(4，5)，则|MT|＋|MH|的最小值是(　D　) A．5 B．6 C. D.＋1 ⑤若点Q也在抛物线上，且·＝－4，||－||＝4，则·＝(　A　) A．－11 B．－12 C．－13 D．－14 解析：由C：y2＝4x得p＝2，∴抛物线的焦点F的坐标为(1，0)． ①∵M是FP的中点，点P在y轴上，∴xM＝＝. 又M在抛物线上， ∴|FM|＝xM＋＝，|FP|＝2|FM|＝3. ②∵A，F，M三点共线，∴AM为圆的直径， ∴BM⊥AB，BM∥x轴． 又F为AM的中点，且点F到准线的距离为2， ∴|BM|＝4， ∴|MF|＝|BM|＝4. ③∵|MF|＝xM＋＝xM＋1＝6，∴xM＝5， ∴yM＝±2，∴S△FMN＝×(5－1)×2＝4. ④如图，连接MF. 由抛物线的定义可知点M到准线x＝－1的距离为|MF|， ∴|MH|＝|MF|＋1， ∴|MT|＋|MH|＝|MT|＋|MF|＋1. 由图可知，当T，M，F三点共线时，|MT|＋|MF|最小， ∴|MT|＋|MF|的最小值为|TF|＝＝，　 ∴|MT|＋|MH|的最小值为＋1.故选D. ⑤设M(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1，x2>0)，则x1＝，x2＝.　 由·＝－4，得x1x2＋y1y2＝－4， 即·＋y1y2＝－4， ∴y1y2＝－8，∴x1x2＝·＝4. ∵F(1，0)，|－|＝4， ∴(x1＋1)－(x2＋1)＝4，即x1－x2＝4， ∴(x1＋x2)2＝(x1－x2)2＋4x1x2＝48＋16＝64. 又x1，x2>0，∴x1＋x2＝8， ∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－8＋1－8＝－11.故选A. 2．抛物线的标准方程 a．利用定义法求抛物线的标准方程(与抛物线有关的轨迹问题) (2)(经典题，5分)点P到(1，0)的距离比其到直线x＋2＝0的距离少1，则点P的轨迹方程为__y2＝4x__． 解析：由已知可得点P一定在x＋2＝0的右侧，否则P到点(1，0)的距离一定大于到x＋2＝0的距离．由P到(1，0)的距离比其到直线x＋2＝0的距离少1，可得P到(1，0)的距离与其到x＋1＝0的距离相等，故点P的轨迹是以(1，0)为焦点，x＋1＝0为准线的抛物线，其方程为y2＝4x. 变式训练 (2023改编，5分)已知点P到F(4，0)的距离与到直线x＝－5的距离相等，则点P的轨迹方程为__y2＝18x＋9__． 解析：设点P(x，y)，则由题意，得＝，化简整理得y2＝18x＋9，即点P的轨迹方程为y2＝18x＋9. b．利用待定系数法求抛物线的标准方程 (3)(2023汇编，15分)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)． ①若抛物线E的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　B　)(2021新高考Ⅱ) A．1 B．2 C．2 D．4 ②设B，C是抛物线E上的两点，F为抛物线的焦点，若OF为菱形OBFC的一条对角线(O为坐标原点)，另一条对角线BC的长为2，则p＝(　B　) A．1 B. C．2 D．2 ③设点P(1，a)(a＞1)在抛物线E上，过P作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，分别交抛物线于点M，N，若直线MN的斜率为－1，则抛物线的方程为(　A　) A．y2＝4x B．y2＝2x C．y2＝x D．y2＝ 解析：由y2＝2px(p＞0)可知E的焦点为. ①根据题意可得，点到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝， 解得p＝－6或2.又因为p>0，所以p＝2.故选B. ②因为菱形的对角线互相垂直平分，所以由题意可得BC垂直平分OF.又F，|BC|＝2，点B，C均在抛物线上，所以点在抛物线上．将代入抛物线方程可得1＝，解得p＝或p＝－(舍)．故选B. ③易知圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，所以点P与圆心的横坐标相同，所以两条切线PM，PN关于直线x＝1对称，即kPM＝－kPN. 设M(x1，y1