3.4 生活中的优化问题举例（课件）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

3.4　生活中的优化问题举例 数学 [目标导航] 课标要求 素养达成 1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活的优化问题. 通过对生活中的优化问题举例的学习,提高学生的分析问题能力和解决问题能力,培养学生的数学应用意识. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 1.生活中的优化问题 (1)生活中经常遇到求 、用料最省、 等问题,这些问题通常称为优化问题. (2)用导数解决优化问题的实质是 . 利润最大 效率最高 求函数的最值 2.用导数解决优化问题的基本思路 数学 思考:生活中的优化问题一定要用导数解决吗? 答案:不一定.例如表示数学问题的函数是一次函数或二次函数时,可不用导数求解. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 与几何有关的最值问题 [例1] 用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少? 数学 解:设容器的高为x cm, 容器的容积为V(x) cm3, 则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4 320x(0<x<24), V′(x)=12x2-552x+4 320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36)(0<x<24). 令V′(x)=0,解得x1=10,x2=36(舍去). 当0<x<10时,V′(x)>0,V(x)是增函数, 当10<x<24时,V′(x)<0,V(x)是减函数, 因此,在定义域(0,24)内, 只有当x=10时函数V(x)取得最大值, 其最大值为V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19 600(cm3). 故当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积是19 600 cm3. 数学 方法技巧 在求面积、容积最大值问题时,要注意充分利用几何图形,建立数学模 型,列出函数关系式,再利用导数计算,但一定要注意自变量的取值范围. 数学 即时训练1-1:已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的长和宽. 数学 题型二 费用最省问题 数学 (2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小? 数学 方法技巧 解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数解析式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域. (2)一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较. 数学 数学 数学 (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求出最小值. 数学 题型三 利润最大问题 数学 (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大? (注:年利润=年销售收入-年总成本) 数学 方法技巧 (1)利润最大问题是生活中常见的一类问题,一般根据“利润=收入-成本”或“利润=每件产品利润×销售件数”建立函数关系式,再用导数求最大值. (2)解答此类问题时,要认真理解相应的概念,如:成本、利润、单价、销售量、广告费等,以免因概念不清而导致解题错误. 数学 数学 (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大? 数学 题型四 易错辨析　忽视分类讨论致误 (1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r. 数学 纠错:没有对r进行讨论. 数学 数学 数学 课堂达标 C 1.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数:y1=17x2(x>0);生产总成本y2(万元)也是x的函数:y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产(　 　) (A)9千台 (B)8千台 (C)6千台 (D)3千台 解析:利润函数y=y1-y2=18x2-2x3(x>0),求导得y′=36x-6x2,令y′=0,得x=6或x=0(舍去). 当0<x<6时,y=18x2-2x3单调递增, x>6时,y=18x2-2x3单调递减, 所以x=6时利润最大.故选C. 数学 2.用边长为18 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当铁盒的容积最大时,截去的小正方形的边长为(　 　) (A)1 cm (B)2 cm (C)3 cm (D)4 cm 解析:设截去的小正方形的边长为x cm,则铁盒的长和宽为(18-2x) cm,高为x cm, 所以V=x·(18-2x)2