3.4 生活中的优化问题举例（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

3.4　生活中的优化问题举例 选题明细表 知识点、方法 题号 几何中的最值问题 5,6,10,11,12 用料最省、费用最省问题 2,9 利润最大问题 1,4,7 其他问题 3,8 基础巩固 1.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为(　C　) (A)1百万件 (B)2百万件 (C)3百万件 (D)4百万件 解析:依题意得y′=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),当0<x<3时,y′>0;当x>3时,y′<0.因此,当x=3时,该商品的年利润最大.故选C. 2.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽各为(　B　) (A)16 m,16 m (B)32 m,16 m (C)32 m,8 m (D)16 m,8 m 解析:如图所示,设场地一边长为x m,则另一边长为m.因此新墙总长度L=2x+(x>0), L′=2-. 令L′=0,得x=16或x=-16(舍去). 因为L在(0,+∞)上只有一个极值点,所以它必是最小值点.因为x=16,所以=32.故当堆料场的宽为16 m,长为32 m时,可使砌墙所用的材料最省.故选B. 3.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒运动的距离为s=t4-t3+ 2t2,那么速度为零的时刻是(　D　) (A)1秒末 (B)0秒 (C)4秒末 (D)0,1,4秒末 解析:s′=t3-5t2+4t,令s′=0,得t1=0,t2=1,t3=4,故选D. 4.某工厂生产某种产品,已知该产品每吨的价格P(元/吨)与产量x(吨)之间的关系式为P=24 200-x2,且生产x吨的成本为R=(50 000+ 200x)元,为使利润最大,则产量应为(　A　) (A)200吨 (B)20吨 (C)150吨 (D)100吨 解析:利润L=P·x-R =(24 200-x2)x-50 000-200x =-x3+24 000x-50 000(x>0), L′=-x2+24 000, 令L′=0,得x2=40 000.所以x=200. 经检验,当x=200时利润最大.故选A. 5.已知圆柱的表面积为定值3π,当圆柱的容积V最大时,圆柱的高h的值为(　B　) (A)1 (B) (C) (D)2 解析:设圆柱的底面半径为r,则S圆柱底=2πr2,S圆柱侧=2πrh, 所以2πr2+2πrh=3π,所以h==,则圆柱的体积V=πr2h= ,所以V′=, 由V′>0得0<r<,由V′<0得r>, 所以当r=时,V取得极大值,也是最大值,此时h=.故选B. 6.要做一个底面为长方形的带盖的箱子,其体积为72 cm3,其底面两邻边长之比为1∶2,则长为　　　,宽为　　　,高为　　　时,可使表面积最小.  解析:设底面两边分别为x cm,2x cm,高为y cm,则72=2x2·y,所以y==,所以表面积S=2(2x2+xy+2xy)=4x2+6xy=4x2+.所以S′= 8x-,令S′=0,得x=3.经检验长为6 cm、宽为3 cm、高为4 cm时,箱子表面积最小. 答案:6 cm　3 cm　4 cm 7.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=(1 200+x3)万元,已知产品单价(万元)的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产品件数定为　　　　件时,总利润最大.  解析:设产品单价为p万元,根据题意, 可设p2=, 其中k为比例系数. 因为当x=100时,p=50,所以k=250 000, 所以p2=,p=,x>0. 设总利润为y万元, 则y=·x-1 200-x3=500-x3-1 200. 所以y′=-x2. 令y′=0,得x=25.故当x<25时,y′>0; 当x>25时,y′<0. 因此当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值. 答案:25 8.现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶? 解:(1)依题意得y=(960+0.6x2)=+300x, 且由题意知,函数的定义域为(0,35], 即y=+300x(0<x≤35). (2)由(1)知,y′=-+300,令y′=0, 解得x=40或x=-40(舍去). 因为函数的定义域为(0,35], 所以函数在定义域内没有极值点. 又当0<x≤35时,y′<0,