专题11 二次函数与角综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题11二次函数与角综合问题 二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型： 1. 特殊角问题： （1） 利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系 （2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形 2.角的数量关系问题 （1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决 （2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答 （3）角的和差问题 3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答 【例1】（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点． （1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式； （2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积； （3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD． ①当点D在抛物线上时，求点D的坐标； ②点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），即可求解； （2）先求直线AB的解析式为y＝x﹣2，则Q（1，﹣），C（1，﹣2），可求S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝； （3）①设P（t，0），过点D作x轴垂线交于点N，可证明△PND≌△BOP（AAS），则D（t+2，﹣t），将D点代入抛物线解析式得﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），求德D（3，﹣1）或D（﹣8，10）； ②分两种情况讨论：当PE∥y轴时，∠OBP＝45°，则P（2，0）； 当PE不平行y轴时，过B点作BG⊥PB交PE于点G，过G点作FG⊥y轴，交于点F，可证明△BPO≌△GBF（AAS），则E点与G点重合，求得P（﹣，0）． 【解答】解：（1）将B（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4）， ∴a＝， ∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2； （2）令y＝0，则（x+3）（x﹣4）＝0， ∴x＝﹣3或x＝4， ∴A（4，0）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y＝x﹣2， ∵OP＝1， ∴P（1，0）， ∵PQ⊥x轴， ∴Q（1，﹣），C（1，﹣2）， ∴AP＝3， ∴S△ACQ＝S△ACP﹣S△APQ＝×3×2﹣×3×＝； （3）①设P（t，0）， 如图2，过点D作x轴垂线交于点N， ∵∠BPD＝90°， ∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°， ∴∠NPD＝∠OBP， ∵BP＝PD， ∴△PND≌△BOP（AAS）， ∴OP＝ND，BO＝PN， ∴D（t+2，﹣t）， ∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4）， 解得t＝1或t＝﹣10， ∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）； ②如图3，∵PE平分∠BPD， ∴∠BPE＝∠EPD， ∵∠BPD＝90°， ∴∠BPE＝45°， 当PE∥y轴时，∠OBP＝45°， ∴P（2，0）； 如图4，过B点作BG⊥PB交PE于点G，过G点作FG⊥y轴，交于点F， ∵∠PBF+∠FBG＝90°，∠FBG+∠FGB＝90°， ∴∠PBF＝∠FGB， ∵∠BPG＝45°， ∴BP＝BG， ∴△BPO≌△GBF（AAS）， ∴BF＝OP，FG＝OB， ∵OB＝2， ∴FG＝2， ∵E（2，﹣） ∴E点与G点重合， ∴PO＝BF＝2﹣＝， ∴P（﹣，0）； 综上所述：P点的坐标为（2，0）或（﹣，0）． 【例2】（2021•贵港）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC． （1）求该抛物线的表达式； （2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式； （3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【分析】（1）先根据对称轴得出b＝2a，再由点C的坐标求出c＝2，最后将点A的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论； （2）分两种情况，Ⅰ、当点D在x轴上方时，先判断出AE＝BE，进而得出点E在直线x＝﹣1上，再求出点E的坐标，最后用待定系数法求出直线l的解析式；Ⅱ、当点D在x轴下方时，判断出BD∥AC，即可得出结论； （3）先求出点D的坐标，进而求出△ABD的面积，得出△PBD的面积，设P（m，﹣m2﹣m+2）（m＜0），过P作y轴的平行线交直线BD于F，得出F（m，m﹣），进而表示出PF，最后用面积建立