专题10 二次函数与线段最值定值及数量关系问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题 图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题． 产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例． 一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错． 【例1】（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC． （1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标． （2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点． ①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标； ②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长． 【分析】（1）将（0，3）和（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c可得； （2）①求出△PCD的面积，设Q（a，3﹣a）利用S△QAB＝2S△PCD求得； ②利用AQ＝AG列出方程，求出G点的坐标，根据联立直线BC和QF的关系式，求出F的坐标，从而求得GF． 【解答】解（1）由题意得， ， ∴b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3 ＝﹣（（x﹣1）2+4， ∴P（1，4）． （2）①如图1， 作CE⊥PD于E， ∵C （0，3），B （3，0）， ∴直线BC：y＝﹣x+3， ∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a）， ∴CE＝PE＝DE， ∴△PCD是等腰直角三角形， ∴S△PCD＝PD•CE＝×2×1＝1， ∴AB•|3﹣a|＝2， ∴×4•|3﹣a|＝2， ∴a＝2或a＝4． ∴Q（2，1）或（4，﹣1）． ②如图2， 设G（m，m﹣）， 由AG2＝AQ2得， （m+1）2+＝（2+1）2+12， 化简，得 5m2+2m﹣16＝0， ∴m1＝﹣2，m2＝， ∴G1（﹣2，﹣3），G2（，﹣）， 作QH⊥AB于H， ∵AQ⊥QF， ∴△AHQ∽△QHM， ∴QH2＝AH•HM， 即：12＝3•HM， ∴HM＝， ∴M（，0）， 设直线QM是：y＝kx+b， ∴， ∴k＝﹣3，b＝7， ∴y＝﹣3x+7， 由得， x＝，y＝﹣ ∴F（，﹣） ∴G1F＝＝， G2F＝＝． 【例2】（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）． （1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标； （2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标； （3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式； （4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长． 【分析】（1）根据点A、B的横坐标分别为﹣3、，可以先求的点A和B的坐标，平行线分线段成比例定理可以得到EC＝ED，然后即可得到点P的坐标； （2）根据点B的横坐标为4，可以求得点B的坐标，然后根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A的坐标，再根据（1）求中点坐标的方法可以求得点P的坐标； （3）根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A和点B的坐标与点P坐标的关系，从而可以得到y与x的关系； （4）将y＝6代入（3）中的函数关系式，可以求得点P的横坐标的平方，然后根据勾股定理可以得到OP的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到线段AB的长． 【解答】解：（1）∵点A、B在抛物线y＝x2上，点A、B的横坐标分别为﹣3、， ∴当x＝﹣3时，y＝×（﹣3）2＝×9＝，当x＝时，y＝×（）2＝×＝， 即点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（，）， 作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，作PE⊥x轴于点E，如右图1所示， 则AC∥BD∥PE， ∵点P为线段AB的中点， ∴PA＝PB， 由平行线分线段成比例，可得EC＝ED， 设点P的坐标为（x，y）， 则x﹣（﹣3）＝﹣x， ∴x＝＝﹣， 同理可得，y＝＝， ∴点P的坐标为（﹣，）； （2）∵点B在抛物线y＝x2上，点B的横坐标为4， ∴点B的纵坐标为：y＝×42＝8， ∴点B的坐标为（4，8）， ∴OD＝4，DB＝8， 作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图2所