专题15 函数与导数解答题 -2022年新高考数学模拟题分项汇编(第五期)

专题15 函数与导数解答题 1．（2021·福建永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数 且 的图象过点 ． （1）求函数 的解析式； （2）已知 ，求 的取值范围； 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）解：将点 代入 且 ， 得： ，解得 ， 所以 ； （2）因为 ，所以函数 为减函数， 由 ，得 ，解得 ， 所以 的解为 . 2．（2021·重庆南开中学高三月考）已知函数 ，（其中a为非零实数）． （1）讨论 的单调性； （2）若函数 （e为自然对数的底数）有两个零点． ①求实数a的取值范围； ②设两个零点分别为 、 ，求证： ． 【答案】 （1）答案见解析 （2）① ；②证明见解析 【解析】 （1） ， 若 ，则当 时， ， ， 单调递增； 当 时， ， ， 单调递减． 若 ，则当 时 ， ， 单调递减； 当 时， ， ， 单调递增． （2）由已知得 有两个不等的正实根， 所以方程 ，即 ，即 有两个不等正实根． ①设 ，则 有两个不等根，又a为非零实数，即 有两个不等根， 由（1）知，函数 在 递增，在 递减，有极大值 ， 又 时， ； 时， ． 若 有两个不等根，则 ，即实数a的取值范围是 ． ②要证 ，只需证 ，即证 ． 令 ，所以只需证 ． 由 得 ， ，所以 ， 消去a得 ，只需证 ． 设 ，令 ，则 ，所以只需证 ． 令 ， ，则 ， 所以 ，即当 时， 成立． 所以 ，即 ，即 . 3．（2021·福建永安市第三中学高中校高三期中）已知函数 且 ． （1）若 ，求函数 在区间 上的最大值； （2）要使函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围 【答案】 （1）8； （2） ， ﹒ 【解析】 （1）由题意，得 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ∵ 的对称轴为 ， ， ，|－1－0|＜|3－0|， ∴ (3) ； （2）开口向上的二次函数 的对称轴为 ， ∵ 在区间 ， 上单调递增， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， ∴ 的取值范围为 ， ． 4．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数 . （1）若函数 的定义域为 ，求 的极值点； （2）若 ， ，证明： . 【答案】 （1） 和 （2）证明见解析 【解析】 （1） 令 ， ， 或 ， ， 令 ，则 ， 解得 ， 令 ，则 ， 解得 ， 又 故极值点为 和 ， （2） 时， 故 是凸函数， 故 ， 有 5．（2021·江苏盐城一中高三期中）设函数 . （1）求证：当 时， 在 上总成立； （2）求证：不论m为何值，函数 总存在零点. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； 【解析】 （1）当 时， ， ， ， 当 时， 恒成立，即 单增， 又 ，则 恒成立，即 单增， 又 ，则 . （2）由题知， ， 当 时， 恒成立， 由零点存在定理知，函数 总存在零点； 当 时， ， ， 易知 单增，且 ，则 在 上单增， 根据 的解析式，存在 ，使 ， 单增， 根据 的解析式，存在 ，使 ， 由零点存在定理知，函数 总存在零点； 6．（2021·广东红岭中学高三月考）已知函数 . （1）求 在 （ 为自然对数的底数）上的最大值； （2）对任意给定的正实数 ，曲线 上是否存在两点P，Q，使得 是以О为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上? 【答案】 （1）答案见解析 （2）存在，理由见解析. 【解析】 （1）解：当 时， ， ，令 ，解得 ，此时 在 和 上单调递减，在 上单调递增，由于 ，故当 时， ； 当 时， ， ，故当 时， 在区间 上单调递减， ；当 时， 在区间 上单调递增， ，当 时， . 综上，当 时， 在 上的最大值为 ，当 时， 在 上的最大值为 . （2）解：假设曲线 上存在两点 ， ，使得 是以 为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上， 则 ， 只能在 轴的两侧，不妨设 （ ），则 ，且 ． 因为△ 是以 为直角顶点的直角三角形，所以 ， 即： ① 是否存在点 ， 等价于方程①是否有解． 若 ，则 ，代入方程①得： ，此方程无实数解； 若 ，则 ，代入方程①得： ， 设 （ ），则 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增，从而 ， 所以当 时，方程 有解，即方程①有解． 所以，对任意给定的正实数 ，曲线 上存在两点 ， ，使得△ 是以 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 轴上． 7．（2021·湖南师大附中高三月考）已知函数 （其中 是自然对数的底数）， . （1）当 时，讨论函数 的单调性； （2）设函数 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）答案见解析 （2） 【解析】 （1）因为 ，所以 . 令 ，则 ，当