专题13 平面解析几何解答题 -2022年新高考数学模拟题分项汇编(第五期)

专题13 平面解析几何解答题 1．（2021·辽宁大连市第一中学高三期中）在平面直角坐标系 中，点 ， 的坐标分别为 ， ， 是动点，且直线 与 的斜率之积等于 . （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）已知直线 与椭圆： 相交于 ， 两点，与 轴交于点 ，若存在 使得 ，求 的取值范围. 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）设 ，则 ， 所以可得动点P的轨迹C的方程为 . （2）设 又 ，由 得 ， 联立 可得 ， 即 EMBED Equation.DSMT4 ，且 ， 又 EMBED Equation.DSMT4 ，则 ， ， 代入 得 ， ，解得 . 的取值范围是 2．（2021·河北邢台一中高三月考）已知点 是已知椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，当 时， 面积达到最大，且最大值为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）过 的直线与椭圆 交于 两点，且两点与左右顶点不重合，若 ，求四边形 面积的取值范围. 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）由题可知，当点 在短轴端点时，△PF1F2的面积最大，且为正三角形， ，又 ，由 ，解得 ， 所以椭圆 的标准方程为 . （2）设 ，则由 ， 可得 ，即 ， ， 又因为 ，所以四边形 是平行四边形， 设平面四边形 的面积为S， 则 EMBED Equation.DSMT4 . 设 ，则 , 所以 因为 ，而对勾函数 在 上单调递增，所以 ， 所以 . 所以四边形 面积的取值范围为 . 3．（2021·河北石家庄模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且点 在C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设 ， 为椭圆C的左，右焦点，过右焦点 的直线l交椭圆C于A，B两点，若 内切圆的半径为 ，求直线l的方程. 【答案】 （1） （2） 或 . 【解析】 （1）因为椭圆的离心率为 ，故可设 ， 故椭圆方程为 ，代入 得 ，故 ， 故椭圆方程为： . （2） 的周长为 ，故 . 设 ， 由题设可得直线 与 轴不重合，故可设直线 ， 则 ， 由 可得 ， 整理得到 ，此时 ， 故 ，解得 ， 故直线 的方程为： 或 . 4．（2021·河北保定一中高三月考）已知双曲线C的渐近线方程为 ，焦点的坐标分别为 . （1）求双曲线C的标准方程； （2）若过点 的直线l交双曲线C于 两点，原点O在以 为直径的圆上，求直线l的方程. 【答案】 （1） ; （2） . 【解析】 （1）设双曲线C的方程为 ，则 结合 ，得 故双曲线C的标准方程为 . （2）由题意可知，直线 的斜率存在，设直线 . 联立方程组 消去y得 ， 则 ， 所以 . 因为原点O在以 为直径的圆上，所以 ，即 ， 解得 . 故直线 的方程为 . 5．（2021·山东省胶州市第一中学高三月考）已知椭圆 的长轴长是 ，以其短轴为直径的圆过椭圆的焦点 （1）求椭圆E的方程； （2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段 的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是 ，求 的最小值； 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）由题意可得 ，解得 ，所以椭圆E的方程为 ； （2）椭圆E左焦点为 ， 设过椭圆E左焦点的直线为 （ 存在且不为0）， ，则 ，设 ， 则 ，且 所以 的中点为 ， 因此线段 的垂直平分线为 ，令 ，则 的纵坐标为 ，因为与 轴交于负半轴，所以 ，又因为点Q的纵坐标的最大值是 ，所以 ，即 ， 而 当 时， ； 6．（2021·湖北孝感高中高三月考）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸 (如下图) 步骤 1： 设圆心是 ，在圆内异于圆心处取一点，标记为 ； 步骤 2： 把纸片折叠， 使圆周正好通过点 ； 步骤 3： 把纸片展开， 并留下一道折痕； 步骤 4： 不停重复步骤 和 ，就能得到越来越多的折痕． 已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为 的圆形纸片， 设定点 到圆心 的距离为 ，按上述方法折纸． （1）以点 所在的直线为 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程； （2）直线 过椭圆 的右焦点 ，交该椭圆于 ， 两点， 中点为 ，射线 为坐标原点)交椭圆于 ，若 ，求直线 的方程． 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1） 如图，以 所在的直线为 轴， 的中点 为原点建立平面直角坐标系 设 为椭圆上一点，由题意可知 ， 所以 点轨迹是以 为左右焦点，长轴长 的椭圆， 因为 ， ，所以 ， ，则 ， 所以椭圆的标准方程为 ； （2）因为 ，所以 ， 当 斜率不存在时， ，不合题意；