专题11 数列解答题 -2022年新高考数学模拟题分项汇编(第五期)

专题11 数列解答题 1．（2021·重庆市第七中学校高三期中）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， . （1）求 ； （2）若 +2 ，求 . 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）解：设公差为 ， 由已知 ， 得： ，解得： ， 所以 ； （2）解： ， 因为 +2 ，即 ，得 ， 解得 ，或 （舍去）， 所以 . 2．（2021·福建永安市第三中学高中校高三期中）已知数列 中， 且 ． （1）求 的通项公式； （2）求 的前 项和 ． 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）解：因为 ，可得数列 为公差为 的等差数列， 又因为 ，解得 ， 所以数列 的通项公式为 . （2）解：由 ，可得 ， 又由 ， 所以 的前 项和 ． 3．（2021·福建永安市第三中学高中校高三期中）已知数列 是前 项和为 （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】 （1） （2） 【解析】（1）∵ 当 时， EMBED Equation.DSMT4 当 时， 满足上式， 所以数列 的通项公式为 . （2）由（1）得， ， 则 . 4．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三期中）已知等比数列 是递增数列，其公比为q，前n项和为Sn，并且满足 ， 是 和 的等差中项. （1）求数列 的通项公式； （2）若 ， ，求使 成立的正整数n的值. 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）解：由题可得 ， ，则 ，解得 所以 . 于是有 解得 或 又 是递增的数列，故 ， ，所以 （2）解：由（1）可得 ， 所以 ，① 则 ，② ② ①，得 ， 即数列 的前n项和 ， 则 ， 即 ，解得 . 5．（2021·山东泰安一中模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足 . （1）证明数列 是等比数列，并求出 的通项公式. （2）证明： . 【答案】 （1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 （1）由题意， ， 则 ， 是以 为首项，2为公比的等比数列. ，则 . （2） ， 当 时， 成立；当 时， ，故 ， 故 . 6．（2021·湖南雅礼中学高三月考）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ， ( 且 ). （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴数列 是以 为首项，1为公差的等差数列， ∴ ，∴ ， 当 时， ， 当 时， ，满足上式， ∴数列 的通项公式为 ； （2）由（1）可知， ， ， ∴当 时， ． 7．（2021·江苏南京市中华中学高三月考）已知数列 的前n项和为Sn，满足 ． （1）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； （2）若不等式2 对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】 （1）证明见详解； （2） 【解析】 （1） ① ② ①-②得 ，即 ， 变形可得 ， 又 ，得 故数列 是以-1为首项， 为公比的等比数列， 由等比数列的通项公式可得 ， . （2）令 ，则 当 或 时， ， 当 时， 又 ， ， 因为不等式 对任意的正整数 恒成立， ，解得 . 8．（2021·辽宁大连市第一中学高三期中）已知等差数列 满足 ， . （1）求 的通项公式； （2）设等比数列 满足 ， ，设 ，求数列 的前n项和为 . 【答案】 （1） （2） EMBED Equation.DSMT4 【解析】 （1）设等差数列 的公差为d， 则 ， 又 ，得 ，解得 ， 所以 . （2）设等比数列 的公比为q， 则 ， ，所以 ， ， ， 则 ， 所以 . 9．（2021·河北石家庄模拟）已知等比数列 的前n项和为 ， ， . （1）求 ； （2）若数列 的前n项和为 ， ，且 ，试写出满足上述条件的数列 的一个通项公式，并说明理由. 【答案】 （1） ； （2） （答案不唯一），理由见解析． 【解析】（1）由等比数列的基本量法求得公比 和首项 后可得前 项和． （2）由 ，因此可取一个数列 满足题意（答案不唯一）． （1）设数列 的公比为 ，则 ， ，所以 ， ， ； （2）易知 ， 因此取 ， 满足题意．（答案不唯一）． 10．（2021·山东聊城一中高三期中）数列 中， 且满足 （1）求数列 通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ， 【答案】 （1） （2） 【解析】（1）由 ，变形为 ，得到 为等差数列求解； （2）由 得到 ，利用错位相减法求解. （1）解：由 ， 则 ， 为等差数列， 由 ， 解得公差 ， 是以2为首项，以2为公差的等差数列. 所以 ； （2）由 得 则 ① ② ①-②得： 11．（2021·山东青岛一中高三期中）1.已知数列 满足 ， ． （1）设 ，证明：数列