第01讲 直线的倾斜角与斜率（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第1讲 直线的倾斜角与斜率(核心考点讲与练) 1、 直线的倾斜角： 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角. 可见，直线的倾斜角的取值范围是. 2、 直线的斜率： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即 .所以，倾斜角是的直线没有斜率；倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是. 直线上任意两点、，当时，； 当时，斜率不存在； 到目前为止，我们已经学习了三个概念-------- 方向向量、倾斜角和斜率，它们之间可以互相转化： （1）若已知直线的方向向量，那么当时，斜率，倾斜角可以由 求得；当时，斜率不存在，倾斜角. （2）若已知直线的倾斜角，那么斜率，方向向量. （3）若已知直线的斜率，那么倾斜角可以由求得，方向向量. 考点一：直线的倾斜角 1．（2018·上海市嘉定区第一中学高二期中）设直线的倾斜角度为,则它关于轴对称的直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称性，求出直线关于轴对称的直线的倾斜角即可. 【详解】设关于轴对称的直线的倾斜角为，则有，所以.故答案为：C. 【点睛】本题主要考查直线倾斜角的概念，准确理解概念是求解的关键，侧重考查对概念的理解力. 2．（2021·上海·高二专题练习）直线的倾斜角为（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据所给直线的斜率-2，直线的斜率是倾斜角的正切，得到，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果. 【详解】因为直线的斜率， 所以， 所以. 所以直线的倾斜角为. 故选：D 【点睛】求斜率的方法： ①定义法：；②两点法求斜率：； ③由直线方程求斜率；④由直线的方向向量求斜率. 3．（2022·上海·高三专题练习）直线的倾斜角是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算直线斜率为，得到倾斜角. 【详解】线，则，故倾斜角为. 故选：C. 【点睛】本题考查了求直线倾斜角，反三角函数，属于简单题. 4．（2021·上海·高二专题练习）直线l的倾斜角为，则直线l关于直线y=x对称的直线l'的倾斜角不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可分类讨论求出对称直线的倾斜角，然后判断． 【详解】当时，直线的倾斜角为，当时，直线的倾斜角为，当时，直线的倾斜角为，因此ABD均可能，只有C不可能．实际上当直线倾斜角为时，直线与直线关于和轴垂直的直线对称． 故选：C． 二、填空题 5．（2021·上海金山·高二期末）已知点、的直线倾斜角大小为___________. 【答案】 【分析】求出直线的斜率，结合直线倾斜角的取值范围可求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，，因此，. 故答案为：. 6．（2021·上海·高二专题练习）直线的倾斜角是___________(结果用反三角表示). 【答案】 【分析】根据斜率公式化简即可. 【详解】解：由题意得 故答案为：. 7．（2020·上海市嘉定区第一中学高二期中）若直线与直线的夹角为，则_________. 【答案】 【分析】分别确定两条直线的倾斜角，作差即可求得. 【详解】直线的斜率为，其倾斜角为， 又直线的倾斜角为，. 故答案为：. 8．（2021·上海市奉贤中学高二阶段练习）直线的倾斜角为___________ 【答案】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得； 【详解】解：直线，即，即斜率为，设倾斜角为，则，所以； 故答案为： 三、解答题 9．（2020·上海·高二课时练习）直线过点，求直线的倾斜角. 【答案】倾斜角 【分析】利用两点坐标求出直线的斜率，然后利用斜率和倾斜角的关系可求直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，当时，倾斜角为；当时，直线的斜率， 因为，所以 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解，利用倾斜角和斜率的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 考点二：斜率的定义 一、单选题 1．（2021·上海·高二专题练习）直线的倾斜角和斜率分别是 A． B． C．，不存在 D．，不存在 【答案】C 【详解】解：∵直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，而斜率不存在， 故选 C． 2．（2020·上海·高二课时练习）设直线，其中且.给出下列结论：①的斜率是；②的倾斜角是；③的方向向量与向量平行；④的法向量与向量平行.其中真命题有（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据直线方程确定直线斜率（可判断①）、方向向量以及法向量，再根据斜率与倾斜角关系、向量平行坐标表示依次判断②③④. 【详解】因为直线，其中， 所以的斜率是；所以①对； 的