2.2.2 反证法-2021-2022学年高二数学理科选修系列精品教学课件 (人教A版)

第二章 推理与证明 2.2.2 反证法 1. 什么是反证法? 它的基本原理是什么? 2. 用反证法证明命题应掌握什么要点? 学 习 要 点 问题 1. 将 9 个球分别染成红色或白色, 同色的球至少有多少个? 为什么? 同色的球至少有 5 个. 原因是: 则红色球少于 5 个, 白色球也少于 5 个, 即红色球最多 4 个, 白色球也最多 4 个, 假设同色的球少于 5 个, 这个结果与已知 9 个球矛盾. 也就是结果推翻了已知条件, 所以假设不成立, 那么同色球至少有 5 个是正确的. 两种颜色的球之和最多 8 个. 问题 2. 如果两个平面平行, 在一个平面内的直线是否平行另一个平面? 为什么? a b l 在一个平面内的直线一定平行另一个平面. 如图, 平面a//b, 直线 la. 假设 l 与 b 不平行, l 又不在 b 内, 那么 l 必与 b 相交, 设交点为P, 由于 la, 则 Pa, 于是 a 与 b 就有公共点P, P 这与已知的 a//b 矛盾, 所以假设是错误的. 一般地, 假设原命题不成立, 经过正确的推理,最后得出矛盾, 因此说明假设错误, 从而证明了原命题成立, 这样的证明方法叫做反证法. 反证法是间接证明的一种基本方法. 用反证法证明命题时: (1) 假设命题不成立要作为条件应用. (2) 推证的结论不能与反证过程中已用的条件相矛盾. 反证法其实就是对原命题的逆否命题的证明. 例4. 已知直线 a, b 和平面 a, 如果 aa, ba,且 a//b, 求证 a//a. a a b 证明: 因为 a//b, 所以 a, b 确定一个平面, 设为 b (如图), b 因为 aa, ba, 所以 b∩a=b. 假设 a 与 a 不平行, 而 aa, 则 a 与 a 相交, 设交点为 P, 则点 P 是平面 a 与 b 的公共点, P 所以点 P 必在交线 b 上, 则直线 a 与 b 相交于P, 这结论与 a//b 矛盾, 所以假设不成立, 原命题得证. 例5. 求证 是无理数. 证明: 假设 不是无理数,